4√3 cos^3 x = cos (2x + π/2)

Допущение: В уравнении $4\sqrt{3} \cos^3 x = \cos(2x + \frac{\pi}{2})$ в строке перехода была допущена ошибка: $\cos(2x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(2x)$, это верно. Однако далее в решении возникла путаница при упрощении $2\sin x \cos x$. Давайте решим уравнение правильно. Дано: $4\sqrt{3} \cos^3 x = -\sin 2x$ 1. Применим формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. $4\sqrt{3} \cos^3 x = -2 \sin x \cos x$ 2. Перенесем все в одну сторону: $4\sqrt{3} \cos^3 x + 2 \sin x \cos x = 0$ 3. Вынесем $2 \cos x$ за скобки: $2 \cos x (2\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x) = 0$ 4. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: **Случай 1:** $\cos x = 0$ $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Случай 2:** $2\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x = 0$ Заменим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $2\sqrt{3} (1 - \sin^2 x) + \sin x = 0$ $2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \sin^2 x + \sin x = 0$ $-2\sqrt{3} \sin^2 x + \sin x + 2\sqrt{3} = 0$ $2\sqrt{3} \sin^2 x - \sin x - 2\sqrt{3} = 0$ 5. Решим квадратное уравнение относительно $t = \sin x$ ($2\sqrt{3} t^2 - t - 2\sqrt{3} = 0$): $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot (-2\sqrt{3}) = 1 + 16 \cdot 3 = 1 + 48 = 49 = 7^2$ $t_1 = \frac{1 + 7}{4\sqrt{3}} = \frac{8}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ (не подходит, так как $|t| \le 1$) $t_2 = \frac{1 - 7}{4\sqrt{3}} = \frac{-6}{4\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ 6. Решим уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $x = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ Или в более привычном виде: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$