Ребро куба равно 8. Найдите расстояние от точки K до плоскости AA1D1.

Решение задач: 1. Ребро куба $a = 8$. Точка $K$ лежит на ребре $C_1D_1$, $C_1K = KD_1$ (значит $K$ — середина $C_1D_1$). Расстояние от точки $K$ до плоскости $AA_1D_1$ равно длине перпендикуляра $KD_1$ (так как $KD_1$ перпендикулярно $AA_1D_1$ в кубе), что составляет $8 / 2 = 4$. Ответ: 4. 2. В прямоугольном параллелепипеде $AD=6$, $BD=10$ (диагональ основания), $CC_1=8$. В основании лежит прямоугольник $ABCD$. Угол между плоскостями $ABCD$ и $AB_1C_1D$ — это угол между прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными линии их пересечения ($AB$). Угол равен $\arctan(CC_1 / BC)$. Найдем $BC$ из треугольника $BDC$: $BC^2 = BD^2 - CD^2 = 10^2 - 6^2 = 64$, откуда $BC = 8$. Угол $\alpha = \arctan(8 / 8) = \arctan(1) = 45^\circ$. Ответ: 45. 3. Пирамида $DABC$ правильная (значит, основание — равносторонний треугольник). Периметр основания $P = 36\sqrt{3}$, сторона $a = 12\sqrt{3}$. Высота $h = 6\sqrt{3}$. Ищем двугранный угол при ребре основания. Пусть $M$ — середина $AC$. Апофема $DM = \sqrt{h^2 + OM^2}$, где $O$ — центр треугольника. Радиус вписанной окружности $r = a / (2\sqrt{3}) = 12\sqrt{3} / (2\sqrt{3}) = 6$. $OM = 6$. $DM = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{108 + 36} = \sqrt{144} = 12$. $\cos(\alpha) = OM / DM = 6 / 12 = 0.5$. Угол $60^\circ$. Ответ: 60. 4. $A_1C_1B$ — сечение, площадь $S_{sec} = 12\sqrt{3}$. Угол между плоскостями $AC_1B$ и $ABC$ равен $30^\circ$. Проекция сечения на основание — треугольник $ABC$. Площадь проекции $S_{proj} = S_{sec} \cdot \cos(30^\circ) = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} / 2 = 18$. Так как $ABC$ — основание призмы, $S_{ABC} = 18$. Ответ: 18. 5. Площадь основания $S_{base} = a^2$, боковые грани наклонены под $45^\circ$. Высота $H = r \cdot \tan(45^\circ) = (a/2) \cdot 1 = a/2$. Полная поверхность $S = a^2 + 2a \cdot (a/2 / \sin(45^\circ)) = a^2 + 2a \cdot (a/2 \cdot \sqrt{2}) = a^2(1 + \sqrt{2})$. По условию $S = a(\sqrt{2} + 2)$, значит $a^2(1 + \sqrt{2}) = a(\sqrt{2} + 2)$. $a = (\sqrt{2} + 2) / (1 + \sqrt{2}) = \sqrt{2}$. Здесь $a = \sqrt{2}$, $b = 0$ (или структура выражения подразумевает $a=1, b=2$). Если $a(\sqrt{2}+2)$ приравнять к $a^2(1+\sqrt{2})$, получим $a = \sqrt{2}$. Выражение $\sqrt{2}(\sqrt{2}+2) = 2 + 2\sqrt{2}$. Площадь равна $a^2(1+\sqrt{2}) = 2(1+\sqrt{2}) = 2 + 2\sqrt{2}$. Значит $a=2, b=2$. Ответ: 4.