1. log0,7(4 - 7x) = log0.7(8x - 11)

Привет! Давай решим эти логарифмические уравнения. При решении логарифмов всегда помни про область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля. **1. $\log_{0.7}(4 - 7x) = \log_{0.7}(8x - 11)$** Убираем логарифмы: $4 - 7x = 8x - 11$. Переносим иксы влево, числа вправо: $-7x - 8x = -11 - 4$, т.е. $-15x = -15$, откуда $x = 1$. Проверка ОДЗ: $4 - 7(1) = -3 < 0$. Значит, корень не подходит. **Ответ: решений нет.** **2. $\log_{7}(4x - 11) = 2$** По определению логарифма: $4x - 11 = 7^2$. $4x - 11 = 49$, $4x = 60$, $x = 15$. Проверка: $4(15) - 11 = 60 - 11 = 49 > 0$. Подходит. **Ответ: 15.** **3. $\log_{4} x = 3\log_{4} 3 + \frac{1}{3}\log_{4} 8$** Используем свойства логарифмов ($n\log a = \log a^n$): $\log_{4} x = \log_{4} 3^3 + \log_{4} 8^{1/3}$. $\log_{4} x = \log_{4} 27 + \log_{4} 2$ (так как $8^{1/3} = 2$). Сумма логарифмов: $\log_{4} x = \log_{4} (27 \cdot 2) = \log_{4} 54$. $x = 54$. **Ответ: 54.** **4. $\log_{0.2}(5x - 10) = -2$** По определению: $5x - 10 = 0.2^{-2}$. $0.2 = \frac{1}{5}$, значит $0.2^{-2} = 5^2 = 25$. $5x - 10 = 25$, $5x = 35$, $x = 7$. Проверка: $5(7) - 10 = 25 > 0$. Подходит. **Ответ: 7.** **5. $\log_{2}(x - 4) + \log_{2}(2x - 1) = \log_{2} 9$** ОДЗ: $x > 4$ и $x > 0.5$, значит $x > 4$. Свойство суммы: $\log_{2}((x - 4)(2x - 1)) = \log_{2} 9$. $(x - 4)(2x - 1) = 9$. $2x^2 - x - 8x + 4 - 9 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 9x - 5 = 0$. Дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$ ($11^2$). $x_1 = (9 + 11) / 4 = 5$; $x_2 = (9 - 11) / 4 = -0.5$. Условие $x > 4$ подходит только для 5. **Ответ: 5.** **6. $2\log_{4}^2 x + 5\log_{4} x - 3 = 0$** Пусть $t = \log_{4} x$. Получаем уравнение $2t^2 + 5t - 3 = 0$. $D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$ ($7^2$). $t_1 = (-5 + 7) / 4 = 0.5$; $t_2 = (-5 - 7) / 4 = -3$. Обратная замена: 1) $\log_{4} x = 0.5 \Rightarrow x = 4^{0.5} = \sqrt{4} = 2$. 2) $\log_{4} x = -3 \Rightarrow x = 4^{-3} = 1/64$. **Ответ: 1/64; 2.**