На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 нарисован треугольник ABC. Найдите медиану AM треугольника ABC.

### Задача №1 Медиана $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой $M$ стороны $BC$. Координаты вершин: $A(4, 2)$, $B(2, 0)$, $C(0, 4)$. Найдем координаты середины $M$ отрезка $BC$: $x_M = (x_B + x_C) / 2 = (2 + 0) / 2 = 1$ $y_M = (y_B + y_C) / 2 = (0 + 4) / 2 = 2$ Точка $M$ имеет координаты $(1, 2)$. Длина отрезка $AM$ по формуле расстояния: $AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2} = \sqrt{(1 - 4)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$. **Ответ: 3** ### Задача №2 Дан треугольник $ABC$, где $AC = BC$. Значит, он равнобедренный с основанием $AB$, и $\angle BAC = \angle ABC$. Луч $CM$ — биссектриса внешнего угла $BCD$. По условию $\angle MCD = 50^\circ$. Поскольку $CM$ — биссектриса, то $\angle BCM = \angle MCD = 50^\circ$. Внешний угол $BCD = \angle BCM + \angle MCD = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ$. Угол $BCA$ и внешний угол $BCD$ — смежные, значит $\angle BCA = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^\circ$, и углы при основании равны: $2 \cdot \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ$ $2 \cdot \angle BAC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$ $\angle BAC = 50^\circ$. **Ответ: 50^°** ### Задача №3 $AB \parallel CD$, прямая $EF$ — секущая. $\angle FMD$ и $\angle KMA$ — вертикальные углы, они равны, поэтому $\angle KMA = 29^\circ$. Углы $AKM$ и $KMD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $EF$ (но здесь секущая $EF$, а углы лежат внутри полосы). На самом деле, $\angle AKM$ и $\angle KMD$ — внутренние накрест лежащие, они равны. $\angle FMD = 29^\circ$. Угол $\angle KMD = 180^\circ - \angle FMD = 180^\circ - 29^\circ = 151^\circ$. Следовательно, $\angle AKM = \angle KMD = 151^\circ$ (как внутренние накрест лежащие). **Ответ: 151^°** ### Задача №4 В треугольнике $ABC$: $\angle ACB = 53^\circ$. $AD$ — биссектриса угла $A$, значит $\angle CAD = \angle DAB$. По условию $\angle CAD = 24^\circ$, значит $\angle A = 24^\circ + 24^\circ = 48^\circ$. Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ $48^\circ + \angle B + 53^\circ = 180^\circ$ $101^\circ + \angle B = 180^\circ$ $\angle B = 180^\circ - 101^\circ = 79^\circ$. **Ответ: 79^°**