1. Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1. Найдите площадь поверхности и объем цилиндра.

Привет! Давай решим задачи из твоего варианта по геометрии. ### 1. Цилиндр Условие: осевое сечение — квадрат, площадь основания $S_{осн} = 1$. Найти площадь поверхности и объем. * Площадь основания цилиндра $S_{осн} = \pi R^2$. Значит, $\pi R^2 = 1$, откуда $R^2 = 1/\pi$, а $R = 1/\sqrt{\pi}$. * Осевое сечение — квадрат со стороной $2R$ (диаметр) и высотой $h = 2R$. * $h = 2 \cdot (1/\sqrt{\pi}) = 2/\sqrt{\pi}$. * Площадь поверхности $S = 2S_{осн} + S_{бок} = 2\pi R^2 + 2\pi Rh = 2\pi(1/\pi) + 2\pi(1/\sqrt{\pi})(2/\sqrt{\pi}) = 2 + 4 = 6$. * Объем $V = S_{осн} \cdot h = 1 \cdot (2/\sqrt{\pi}) = 2/\sqrt{\pi}$. ### 2. Конус Условие: $R = 3$ м, $h = 4$ м. Найти площадь поверхности и объем. * Образующая $l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ м. * $S_{полн} = \pi R(R + l) = \pi \cdot 3 \cdot (3 + 5) = 24\pi$ м². * $V = (1/3)\pi R^2 h = (1/3)\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$ м³. ### 3. Конус Условие: $l = 4$ м, угол при вершине $90^\circ$. * Осевое сечение — равнобедренный прямоугольный треугольник, где $l=4$ — это катеты. Тогда диаметр основания $2R = l\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$, значит $R = 2\sqrt{2}$. * Высота $h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. * $S_{бок} = \pi R l = \pi \cdot 2\sqrt{2} \cdot 4 = 8\sqrt{2}\pi$ м². * $V = (1/3)\pi R^2 h = (1/3)\pi \cdot 8 \cdot 2\sqrt{2} = (16\sqrt{2}/3)\pi$ м³. ### 4. Два конуса Пусть катеты прямоугольного треугольника $a$ и $b$. При вращении вокруг $a$ получим конус с $R=b, h=a, l=\sqrt{a^2+b^2}$. При вращении вокруг $b$ — конус с $R=a, h=b, l=\sqrt{a^2+b^2}$. * а) Площади боковых поверхностей: $S_1 = \pi b l$, $S_2 = \pi a l$. Они равны, если $a=b$ (треугольник равнобедренный), иначе нет. * б) Объем: $V_1 = (1/3)\pi b^2 a$, $V_2 = (1/3)\pi a^2 b$. Они равны, только если $a=b$. ### 5. Шар Радиус увеличили в $k$ раз. * Площадь $S = 4\pi R^2$. Если $R \to kR$, то $S \to k^2 S$. * а) В 2 раза: $S$ увеличится в $2^2=4$ раза. * б) В 3 раза: $S$ увеличится в $3^2=9$ раз. * в) В $n$ раз: $S$ увеличится в $n^2$ раз. * Объем $V = (4/3)\pi R^3$. Если $R \to kR$, то $V \to k^3 V$. * а) В 2 раза: $V$ увеличится в $2^3=8$ раз. * б) В 3 раза: $V$ увеличится в $3^3=27$ раз. * в) В $n$ раз: $V$ увеличится в $n^3$ раз.