В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, высота CH равна 3, BC = 12. Найди cos A.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHB$ (угол $CHB = 90^\circ$): Мы знаем катет $CH = 3$ и гипотенузу $BC = 12$. По теореме Пифагора найдем отрезок $HB$: $HB^2 = BC^2 - CH^2$ $HB^2 = 12^2 - 3^2 = 144 - 9 = 135$ $HB = \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$ 2. Используем свойство высоты, опущенной на гипотенузу: квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы. $CH^2 = AH \cdot HB$ $3^2 = AH \cdot 3\sqrt{15}$ $9 = AH \cdot 3\sqrt{15}$ $AH = \frac{9}{3\sqrt{15}} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$ 3. Теперь найдем гипотенузу всего треугольника $AB$: $AB = AH + HB = \frac{\sqrt{15}}{5} + 3\sqrt{15} = \frac{\sqrt{15} + 15\sqrt{15}}{5} = \frac{16\sqrt{15}}{5}$ 4. В прямоугольном треугольнике $ABC$ косинус угла $A$ — это отношение прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$: $\cos A = \frac{AC}{AB}$ Сначала найдем $AC$ из треугольника $ACH$: $AC^2 = AH^2 + CH^2 = (\frac{\sqrt{15}}{5})^2 + 3^2 = \frac{15}{25} + 9 = 0,6 + 9 = 9,6 = \frac{48}{5}$ $AC = \sqrt{\frac{48}{5}} = \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{15}}{5}$ 5. Вычисляем $\cos A$: $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{\frac{4\sqrt{15}}{5}}{\frac{16\sqrt{15}}{5}} = \frac{4\sqrt{15}}{16\sqrt{15}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0,25$ **Ответ:** 0,25