QS = ?

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника. 1. Рассмотрим треугольник $PSR$. Он прямоугольный ($\\angle PSR = 90^\\circ$). Так как $\\angle RPS = 60^\\circ$, то $\\angle PRS = 90^\\circ - 60^\\circ = 30^\\circ$. 2. Нам известна сторона $PS = 18$ (катет, лежащий против угла $30^\\circ$ в $\\triangle PRS$). Высота $RS$ — это катет, лежащий против угла $60^\\circ$. Его можно найти через тангенс: $RS = PS \\cdot \\tan(60^\\circ) = 18 \\cdot \\sqrt{3} = 18\\sqrt{3}$. 3. Теперь рассмотрим треугольник $RSQ$. Он также прямоугольный ($\\angle RSQ = 90^\\circ$). Так как угол $PRQ = 90^\\circ$, а $\\angle PRS = 30^\\circ$, то $\\angle SRQ = 90^\\circ - 30^\\circ = 60^\\circ$. 4. В $\\triangle RSQ$ искомая сторона $QS$ — катет, лежащий против угла $60^\\circ$ (так как $\\angle RQS = 90^\\circ - 60^\\circ = 30^\\circ$). Используем соотношение в $\\triangle RSQ$: $QS = RS \\cdot \\tan(60^\\circ) = (18\\sqrt{3}) \\cdot \\sqrt{3} = 18 \\cdot 3 = 54$. **Ответ: QS = 54**