Задумано трёхзначное число, которое делится на 17. Справа к нему приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся шестизначное число делится на 18. Какое число могло быть задумано? Если таких чисел несколько, укажите все.

Пусть искомое трехзначное число равно $x$. Тогда по условию: 1. $x$ делится на $17$, значит $x = 17k$, где $k$ — целое число. 2. При приписывании числа справа к самому себе мы получаем число вида $1000x + x = 1001x$. 3. Полученное число $1001x$ делится на $18$. Так как $18 = 2 \times 9$, число должно делиться и на $2$, и на $9$. Рассмотрим условия делимости: - Делимость на $2$: число $1001x$ четное. Так как $1001$ нечетное, значит $x$ должно быть четным. - Делимость на $9$: число $1001x$ делится на $9$. Так как $1001$ при делении на $9$ дает остаток $2$ ($1+0+0+1 = 2$), то число $2x$ должно делиться на $9$. Поскольку $2$ и $9$ взаимно просты, $x$ должно делиться на $9$. Итого, $x$ должно делиться на $17$, на $9$ и на $2$. Следовательно, $x$ должно делиться на наименьшее общее кратное этих чисел: $НОК(17, 9, 2) = 17 \times 9 \times 2 = 306$. Теперь найдем все кратные $306$ трехзначные числа: - $306 \times 1 = 306$ - $306 \times 2 = 612$ - $306 \times 3 = 918$ Проверим каждое: - $306$: делится на 17 (306/17=18), четное, делится на 9 (3+0+6=9). Подходит. - $612$: делится на 17 (612/17=36), четное, делится на 9 (6+1+2=9). Подходит. - $918$: делится на 17 (918/17=54), четное, делится на 9 (9+1+8=18). Подходит. **Ответ: 306, 612, 918.**