7 / ((x-2)(x-3)) + 9 / (x-3) + 1 < 0

Решим неравенство: $\frac{7}{(x-2)(x-3)} + \frac{9}{x-3} + 1 < 0$ 1. Приведем к общему знаменателю $(x-2)(x-3)$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 2, x \neq 3$. $\frac{7 + 9(x-2) + 1(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-3)} < 0$ 2. Раскроем скобки в числителе: $7 + 9x - 18 + x^2 - 3x - 2x + 6 < 0$ $x^2 + 4x - 5 < 0$ 3. Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$ через дискриминант или теорему Виета. Корни: $x_1 = -5, x_2 = 1$. Тогда: $\frac{(x+5)(x-1)}{(x-2)(x-3)} < 0$ 4. Используем метод интервалов. Нанесем на числовую прямую корни числителя ($-5, 1$) и знаменателя ($2, 3$). Все точки выколотые (знак неравенства строгий). Интервалы: $(-\infty, -5), (-5, 1), (1, 2), (2, 3), (3, +\infty)$. Проверим знаки на интервалах: - При $x = 4$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$ - При $x = 2.5$: $\frac{(+)(+)}{(+)(-)} < 0$ (подходит) - При $x = 1.5$: $\frac{(+)(+)}{(-)(-)} > 0$ - При $x = 0$: $\frac{(+)(-)}{(-)(-)} < 0$ (подходит) - При $x = -6$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$ **Ответ:** $x \in (-5, 1) \cup (2, 3)$