B1 (1) ∠LKN - ∠MKL = 20°. ∠M, ∠N - ?

Привет! Давай разберем задачи по геометрии. Это задания на свойства прямоугольных треугольников и углы. ### B1 (1) В $\triangle KMN$ проведена высота $KL$, поэтому $\triangle KML$ и $\triangle KNL$ прямоугольные. Пусть $\angle MKL = x$, тогда $\angle LKN = x + 20^\circ$. В $\triangle KML$: $\angle M = 90^\circ - x$. В $\triangle KNL$: $\angle N = 90^\circ - (x + 20^\circ) = 70^\circ - x$. Сумма острых углов в $\triangle KMN$ равна $90^\circ$: $\angle M + \angle N = (90^\circ - x) + (70^\circ - x) = 90^\circ$. Значит, $160 - 2x = 90$, $2x = 70$, $x = 35^\circ$. $\angle M = 90 - 35 = 55^\circ$, $\angle N = 90 - 55 = 35^\circ$. (2) В $\triangle KMN$: $KN=MN$ (отмечено равенство сторон), значит, треугольник равнобедренный, углы при основании равны: $\angle MKN = \angle N$. В $\triangle KMN$ сумма углов $180^\circ$: $\angle M + 2\angle N = 180^\circ$. Внешний угол при вершине $N$ равен $120^\circ$, значит, $\angle KNM = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Так как $\angle N$ (в треугольнике $KMN$) это и есть $\angle KNM = 60^\circ$, то $\angle M + 2 \cdot 60^\circ = 180^\circ \implies \angle M = 60^\circ$. $\triangle KMN$ равносторонний. $\angle K = 60^\circ$. $\angle L = 90^\circ$ (высота). ### B2 (1) $AM=MB$, $CM$ — медиана прямоугольного треугольника $ABC$, проведенная к гипотенузе. По свойству, она равна половине гипотенузы, то есть $AM=BM=CM$. $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ равнобедренные. Пусть $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$. Тогда $\angle ACM = \alpha$, $\angle BCM = \beta$. $\angle AMC = 180 - 2\alpha$, $\angle BMC = 180 - 2\beta$. По условию $\angle AMC - \angle BMC = 60^\circ$. $(180-2\alpha) - (180-2\beta) = 60 \implies 2\beta - 2\alpha = 60 \implies \beta - \alpha = 30$. Знаем, что $\alpha + \beta = 90^\circ$. Система: $\beta - \alpha = 30$ и $\beta + \alpha = 90$. Складываем: $2\beta = 120 \implies \beta = 60^\circ$, $\alpha = 30^\circ$. $\angle A = 30^\circ, \angle B = 60^\circ$. (2) $\triangle KMT$ — прямоугольный, $\angle KMT = 90 - 120$ неверно, здесь внешний угол $120$ смежный с $\angle KMT$. $\angle KMT = 180 - 120 = 60^\circ$. В прямоугольном $\triangle KMT$ ($\angle K = 90^\circ$): $\angle KTM = 90 - 60 = 30^\circ$. Против угла $30^\circ$ лежит катет $MK=9$, значит гипотенуза $TM = 2 \cdot 9 = 18$. По теореме Пифагора $TK = \sqrt{18^2 - 9^2} = \sqrt{324-81} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3}$. ### B3 (1) В $\triangle TMN$ $\angle T=90^\circ$, $NM=16$. Внешний угол у $K$ равен $150^\circ$, значит $\angle M = 180 - 150 = 30^\circ$ (внешний угол при $M$ треугольника $TMN$). В $\triangle TMN$ катет $TN = 16 \cdot \sin(30^\circ) = 8$. $TM = 16 \cdot \cos(30^\circ) = 8\sqrt{3}$. (2) $CK$ — медиана из прямого угла. $AK=BK=CK$. Треугольники $ACK$ и $CBK$ равнобедренные. ### B4 (1) $\triangle MLK$ прямоугольный. $\angle L = 90^\circ$. $ML=16$, $LE=8$. $EL=8$. $\angle LMK$ находим из $\text{tg}(\angle LMK) = EK/16$. Без значения $EK$ или другого угла найти нельзя. (2) $\triangle ABC$ прямоугольный, $\angle ACB=90^\circ$. $CD$ — высота. $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$ прямоугольные. Используй свойство: высота из прямого угла делит его на треугольники, подобные исходному.