1.Найдите корни уравнения: а) 5 x^2-11x+2=0 б) 14x^2-5x-1=0

### 1. Найдите корни уравнения: **а) $5x^2 - 11x + 2 = 0$** $D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81 = 9^2$ $x_1 = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$ $x_2 = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = 0,2$ **Ответ: 0,2; 2.** **б) $14x^2 - 5x - 1 = 0$** $D = (-5)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-1) = 25 + 56 = 81 = 9^2$ $x_1 = \frac{5 + 9}{28} = \frac{14}{28} = 0,5$ $x_2 = \frac{5 - 9}{28} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}$ **Ответ: -1/7; 0,5.** ### 2. Решите дробно-рациональное уравнение: **а) $\frac{x-2}{x+2} = \frac{x+3}{x-4}$** $(x-2)(x-4) = (x+3)(x+2)$ $x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 + 2x + 3x + 6$ $x^2 - 6x + 8 = x^2 + 5x + 6$ $-6x - 5x = 6 - 8$ $-11x = -2$ $x = \frac{2}{11}$ ОДЗ: $x \neq -2, x \neq 4$. Число подходит. **Ответ: 2/11.** **б) $\frac{3}{x} + \frac{4}{x-1} = \frac{5-x}{x^2-x}$** ОДЗ: $x \neq 0, x \neq 1$. Приводим к общему знаменателю $x(x-1)$: $3(x-1) + 4x = 5 - x$ $3x - 3 + 4x = 5 - x$ $7x - 3 = 5 - x$ $8x = 8$ $x = 1$ Корень $x=1$ не входит в ОДЗ. **Ответ: корней нет.** ### 3. Решите систему уравнений: **1) $\begin{cases} 2x^2 - xy = 33 \\ 4x - y = 17 \end{cases}$** Выразим $y$: $y = 4x - 17$. Подставим в первое уравнение: $2x^2 - x(4x - 17) = 33$ $2x^2 - 4x^2 + 17x - 33 = 0$ $-2x^2 + 17x - 33 = 0$ $2x^2 - 17x + 33 = 0$ $D = 289 - 4 \cdot 2 \cdot 33 = 289 - 264 = 25 = 5^2$ $x_1 = \frac{17 + 5}{4} = 5,5$, $y_1 = 4 \cdot 5,5 - 17 = 22 - 17 = 5$ $x_2 = \frac{17 - 5}{4} = 3$, $y_2 = 4 \cdot 3 - 17 = -5$ **Ответ: (5,5; 5); (3; -5).** **2) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \\ x - y = 4 \end{cases}$** $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) = 8$. Так как $x-y=4$, то: $4(x+y) = 8 \Rightarrow x+y = 2$ Система: $\begin{cases} x-y=4 \\ x+y=2 \end{cases}$ Сложим: $2x = 6 \Rightarrow x = 3$. Тогда $3 - y = 4 \Rightarrow y = -1$. **Ответ: (3; -1).** ### 4. Докажите неравенство: $(a-2)^2 > a(a-4)$ $a^2 - 4a + 4 > a^2 - 4a$ Вычтем $a^2 - 4a$ из обеих частей: $4 > 0$ Это верно при любом $a$. Ч.т.д. ### 5. Решите задачу: Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Скорость по течению: $(15+x)$, против: $(15-x)$. Время одинаковое: $t = \frac{S}{v}$ $\frac{35}{15+x} = \frac{25}{15-x}$ $35(15-x) = 25(15+x)$ $525 - 35x = 375 + 25x$ $150 = 60x$ $x = 2,5$ **Ответ: 2,5 км/ч.**