Решите уравнение: а) sin^3 x - 3sin^2 x cos x + 2sin x cos^2 x = 0;

Решим данные уравнения: а) $\sin^3 x - 3\sin^2 x \cos x + 2\sin x \cos^2 x = 0$ Вынесем $\sin x$ за скобки: $\sin x (\sin^2 x - 3\sin x \cos x + 2\cos^2 x) = 0$. 1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$. 2) $\sin^2 x - 3\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 0$. Разделим на $\cos^2 x$ (так как $\cos x = 0$ не является решением): $\tan^2 x - 3\tan x + 2 = 0$. Пусть $\tan x = t$, тогда $t^2 - 3t + 2 = 0 \Rightarrow (t-1)(t-2) = 0$. $\tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k$; $\tan x = 2 \Rightarrow x = \arctan 2 + \pi m$. **Ответ:** $x = \pi n, x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = \arctan 2 + \pi m, n, k, m \in \mathbb{Z}$. б) $\sin^3 x + \sin^2 x \cos x - 3\sin x \cos^2 x - 3\cos^3 x = 0$ Группировка: $\sin^2 x (\sin x + \cos x) - 3\cos^2 x (\sin x + \cos x) = 0$. $(\sin^2 x - 3\cos^2 x)(\sin x + \cos x) = 0$. 1) $\sin x + \cos x = 0 \Rightarrow \tan x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$. 2) $\sin^2 x = 3\cos^2 x \Rightarrow \tan^2 x = 3 \Rightarrow \tan x = \pm \sqrt{3}$. $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$. **Ответ:** $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$. в) $\sin^2 x \cos^2 x - 10\sin x \cos^3 x + 21\cos^4 x = 0$ Разделим на $\cos^4 x$ (если $\cos x = 0$, то $0=0$, значит $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ — решение): $\tan^2 x - 10\tan x + 21 = 0$. $(t-3)(t-7) = 0$. $\tan x = 3 \Rightarrow x = \arctan 3 + \pi k$; $\tan x = 7 \Rightarrow x = \arctan 7 + \pi m$. **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = \arctan 3 + \pi k, x = \arctan 7 + \pi m, n, k, m \in \mathbb{Z}$. г) $\sin^6 x + \sin^4 x \cos^2 x = \sin^3 x \cos^3 x + \sin x \cos^5 x$ Вынесем общие множители: $\sin^4 x (\sin^2 x + \cos^2 x) = \sin x \cos^3 x (\sin^2 x + \cos^2 x)$. Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $\sin^4 x = \sin x \cos^3 x$. $\sin x (\sin^3 x - \cos^3 x) = 0$. 1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$. 2) $\sin^3 x = \cos^3 x \Rightarrow \tan^3 x = 1 \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k$. **Ответ:** $x = \pi n, x = \frac{\pi}{4} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.