В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 45, sin A = 2/3. Найдите длину отрезка BH.

Давай разберем эту задачу по шагам: 1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($ \angle C = 90^\circ $) отрезок $CH$ — высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$. 2. По свойству высоты прямоугольного треугольника, треугольник $CBH$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: оба прямоугольные, имеют общий острый угол $\angle B$). 3. В прямоугольном треугольнике $ABC$ синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$: $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}$. Отсюда найдем $BC$: $BC = AB \cdot \frac{2}{3} = 45 \cdot \frac{2}{3} = 30$. 4. Теперь рассмотрим треугольник $CBH$. Это тоже прямоугольный треугольник (так как $CH \perp AB$). В нем $\angle B$ — общий с треугольником $ABC$. Значит, $\sin B = \frac{CH}{BC}$ или $\cos B = \frac{BH}{BC}$. Найдем $\cos B$. Мы знаем, что $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}$. Так как $\angle A + \angle B = 90^\circ$, то $\sin A = \cos B$. Значит, $\cos B = \frac{2}{3}$. 5. В треугольнике $CBH$ отрезок $BH$ является прилежащим катетом к углу $B$. Тогда: $\cos B = \frac{BH}{BC}$ $BH = BC \cdot \cos B = 30 \cdot \frac{2}{3} = 20$. **Ответ: 20**