Докажите, что высоты равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам, равны.

### 18.14. Высоты в равнобедренном треугольнике Пусть в $\triangle ABC$ ($AB = AC$) проведены высоты $BD$ к стороне $AC$ и $CE$ к стороне $AB$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$: 1. $AB = AC$ (боковые стороны равнобедренного треугольника). 2. $\angle A$ — общий. Значит, $\triangle ABD = \triangle ACE$ по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство высот: $BD = CE$. ### 18.15. Обратное утверждение Пусть в $\triangle ABC$ высоты $BD$ и $CE$ равны. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle CBE$: 1. $BD = CE$ (по условию). 2. $BC$ — общая гипотенуза. Значит, $\triangle BCD = \triangle CBE$ по гипотенузе и катету. Отсюда следует равенство углов $\angle BCD = \angle CBE$ (или $\angle C = \angle B$). Если углы при основании равны, треугольник равнобедренный. ### 18.16. Равенство по катету и биссектрисе Пусть в прямоугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ ($\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$) катеты $AC = A_1C_1$, а биссектрисы $CD = C_1D_1$. В $\triangle ACD$ и $\triangle A_1C_1D_1$: $AC = A_1C_1$, $CD = C_1D_1$, $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1 = 45^\circ$. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, $\angle A = \angle A_1$. Тогда треугольники равны по катету и прилежащему острому углу. ### 18.17. Равенство по катету и высоте Пусть в прямоугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ ($\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$) катеты $AC = A_1C_1$, а высоты $CD = C_1D_1$. Рассмотрим $\triangle ADC$ и $\triangle A_1D_1C_1$ (прямоугольные): 1. $AC = A_1C_1$ (гипотенузы). 2. $CD = C_1D_1$ (катеты). Треугольники равны по гипотенузе и катету. Отсюда $\angle A = \angle A_1$. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по катету и прилежащему острому углу.