Найдите значение выражения (tg(5pi/14) * tg(pi/7)) / (sqrt(2) * sin(3pi/8) * cos(3pi/8))

Для решения данного выражения преобразуем отдельно числитель и знаменатель. ### Числитель Имеем выражение $\operatorname{tg} \frac{5\pi}{14} \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{7}$. Заметим, что $\frac{\pi}{7} = \frac{2\pi}{14}$. Используем формулу приведения для тангенса: $\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{ctg} (\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Тогда $\operatorname{tg} \frac{5\pi}{14} = \operatorname{ctg} (\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{14}) = \operatorname{ctg} (\frac{7\pi}{14} - \frac{5\pi}{14}) = \operatorname{ctg} \frac{2\pi}{14} = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{7}$. Теперь числитель принимает вид: $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{7} \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{7} = 1$ (так как $\operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = 1$ при определенном $\alpha$). ### Знаменатель Имеем выражение $\sqrt{2} \sin \frac{3\pi}{8} \cdot \cos \frac{3\pi}{8}$. Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, откуда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$. В нашем случае $\alpha = \frac{3\pi}{8}$, поэтому: $\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \sin (2 \cdot \frac{3\pi}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{3\pi}{4}$. Так как $\sin \frac{3\pi}{4} = \sin (\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{4} = 0,5$. ### Итог Делим числитель на знаменатель: $\frac{1}{0,5} = 2$. **Ответ: 2**