633. Найдите корни уравнения:

Привет! Давай решим уравнения из номера 633. **а)** $\frac{x^2}{x^2+1} = \frac{7x}{x^2+1}$. Знаменатели равны, значит $x^2 = 7x$. Переносим: $x^2 - 7x = 0$, $x(x-7) = 0$. Корни: $x_1 = 0, x_2 = 7$. **б)** $\frac{y^2}{y^2-6y} = \frac{4(3-2y)}{y(6-y)}$. Заметим, что $y^2-6y = y(y-6)$, а $y(6-y) = -y(y-6)$. Тогда $\frac{y^2}{y(y-6)} = \frac{-4(3-2y)}{y(y-6)}$. Условие $y \neq 0, y \neq 6$. Приравняем числители: $y^2 = -4(3-2y) \Rightarrow y^2 = -12 + 8y \Rightarrow y^2 - 8y + 12 = 0$. По теореме Виета корни $y_1=2, y_2=6$. Но $y \neq 6$, поэтому остается только $y=2$. **в)** $\frac{x-2}{x+2} = \frac{x+3}{x-4}$. Перекрестное умножение: $(x-2)(x-4) = (x+3)(x+2) \Rightarrow x^2 - 6x + 8 = x^2 + 5x + 6 \Rightarrow -11x = -2 \Rightarrow x = \frac{2}{11}$. **г)** $\frac{8y-5}{y} = \frac{9y}{y+2}$. Перекрестное умножение: $(8y-5)(y+2) = 9y^2 \Rightarrow 8y^2 + 16y - 5y - 10 = 9y^2 \Rightarrow 8y^2 + 11y - 10 = 9y^2 \Rightarrow y^2 - 11y + 10 = 0$. Корни по теореме Виета $y_1=10, y_2=1$. **д)** $\frac{x^2+3}{x^2+1} = 2$. $x^2+3 = 2(x^2+1) \Rightarrow x^2+3 = 2x^2+2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. **е)** $\frac{3}{x^2+2} = \frac{1}{x}$. $3x = x^2+2 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета $x_1=1, x_2=2$. **ж)** $x+2 = \frac{15}{4x+1}$. $(x+2)(4x+1) = 15 \Rightarrow 4x^2 + x + 8x + 2 = 15 \Rightarrow 4x^2 + 9x - 13 = 0$. $D = 81 - 4(4)(-13) = 81 + 208 = 289 = 17^2$. $x_1 = \frac{-9+17}{8} = 1$, $x_2 = \frac{-9-17}{8} = -3,25$. **з)** $\frac{x^2-5}{x-1} = \frac{7x+10}{9}$. $9(x^2-5) = (7x+10)(x-1) \Rightarrow 9x^2 - 45 = 7x^2 - 7x + 10x - 10 \Rightarrow 2x^2 - 3x - 35 = 0$. $D = 9 - 4(2)(-35) = 9 + 280 = 289 = 17^2$. $x_1 = \frac{3+17}{4} = 5$, $x_2 = \frac{3-17}{4} = -3,5$.