13. Укажите неравенство, решением которого является любое число.

13. Укажите неравенство, решением которого является любое число. Проверим каждый вариант: 1) $x^2 - 64 \ge 0$. Решение: $x \le -8$ или $x \ge 8$. Неверно. 2) $x^2 + 64 \le 0$. Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому $x^2 + 64 > 0$. Неверно. 3) $x^2 + 64 \ge 0$. Сумма неотрицательного числа и положительного всегда больше нуля. Верно для любого $x$. 4) $x^2 - 64 \le 0$. Решение: $-8 \le x \le 8$. Неверно. Ответ: 3 14. Грузовик перевозит 221 тонну. Это арифметическая прогрессия, где $S_{13} = 221$, $a_1 = 5$, $n = 13$. Формула суммы: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ $221 = \frac{5 + a_{13}}{2} \cdot 13$ $17 = \frac{5 + a_{13}}{2}$ $34 = 5 + a_{13}$ $a_{13} = 29$ Ответ: 29 15. Прямая параллельна $AC$, значит, $\triangle KBM \sim \triangle ABC$. Из подобия следует отношение сторон: $\frac{KM}{AC} = \frac{BM}{BC}$. Так как $BM : MC = 2 : 5$, то $BC = BM + MC = 2x + 5x = 7x$. Тогда $\frac{BM}{BC} = \frac{2x}{7x} = \frac{2}{7}$. $\frac{14}{AC} = \frac{2}{7} \Rightarrow AC = \frac{14 \cdot 7}{2} = 49$. Ответ: 49 16. Окружность описана около равнобедренного $\triangle ABC$, $AB=BC$, $\angle ABC = 177^\circ$. Угол $ABC$ — вписанный. Он опирается на дугу $ADC$ (где $D$ — точка на большей дуге), градусная мера которой $2 \cdot 177^\circ = 354^\circ$. Тогда меньшая дуга $AC$ равна $360^\circ - 354^\circ = 6^\circ$. Центральный угол $AOC$ равен дуге $AC = 6^\circ$. В $\triangle AOC$ ($AO=OC=R$, $OA$ и $OC$ — радиусы): $\angle OAC = \angle OCA = (180^\circ - 6^\circ) / 2 = 87^\circ$. Требуется найти $\angle BOC$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $\triangle OBC$ тоже равнобедренный ($OB=OC=R$). $\angle OBC = \angle OCB$. В $\triangle OBC$: $\angle BOC = 180^\circ - 2 \cdot \angle OBC$. Угол $\angle ACB$ в $\triangle ABC$: $\angle ACB = (180^\circ - 177^\circ) / 2 = 1.5^\circ$. $\angle OCB = \angle ACB = 1.5^\circ$. Тогда $\angle OBC = 1.5^\circ$. $\angle BOC = 180^\circ - 2 \cdot 1.5^\circ = 180^\circ - 3^\circ = 177^\circ$. Ответ: 177 20. Решите уравнение $x^6 = (6x-5)^3$. Извлечем кубический корень из обеих частей: $x^2 = 6x - 5$ $x^2 - 6x + 5 = 0$ По теореме Виета $x_1 = 1, x_2 = 5$. Ответ: 1; 5 21. Пусть $x$ кг — масса первого сплава, $y$ кг — масса второго. Система уравнений: $x + y = 200$ $0.1x + 0.3y = 0.25 \cdot 200 = 50$ Из первого $x = 200 - y$. $0.1(200 - y) + 0.3y = 50$ $20 - 0.1y + 0.3y = 50$ $0.2y = 30 \Rightarrow y = 150$. $x = 200 - 150 = 50$. Разница масс: $150 - 50 = 100$. Ответ: 100