Билет №15 1. Дайте определение секущей. Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

### Решение билета №15 **1. Определение секущей и пары углов** * **Определение:** Секущая — это прямая, которая пересекает две другие прямые в двух различных точках. * **Пары углов:** При пересечении двух прямых секущей образуются 8 углов, которые формируют следующие пары: * Накрест лежащие углы (внутренние и внешние). * Односторонние углы (внутренние и внешние). * Соответственные углы. * Вертикальные углы (образуются при пересечении каждой прямой секущей). * Смежные углы. **2. Свойство катета, лежащего против угла 30°** * **Теорема:** В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. * **Доказательство:** Приложим к данному треугольнику $ABC$ (где $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $BC$ — катет против угла $A$) равный ему треугольник $ABC_1$ так, чтобы сторона $AC$ стала общей. Получим треугольник $ABC_1$, в котором $\angle A = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$ и $AB = AC_1$. Так как углы при основании равны, треугольник равносторонний, значит, $AB = BC + BC_1 = 2BC$. Отсюда $BC = \frac{1}{2} AB$. * **Обратное утверждение:** Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. **3. Нахождение угла DBC** * Так как луч $BD$ проходит между сторонами угла $ABC$, то $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$. * Подставим известные значения: $63^\circ = 51^\circ + \angle DBC$. * $\angle DBC = 63^\circ - 51^\circ = 12^\circ$. **Ответ:** $12^\circ$. **4. Доказательство равенства отрезков** * **Дано:** $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB = BC$). $AM$ на $AB$, $CN$ на $BC$, $AM = CN$. * *Примечание:* В условии, вероятно, опечатка, и отрезки $AM$ и $CN$ отложены от вершины $A$ и $C$ соответственно, либо $AM=CN$ на боковых сторонах. * Рассмотрим $\triangle ACN$ и $\triangle CAM$: 1. $AC$ — общая сторона. 2. $AB = BC$ (по условию). 3. $AM = CN$ (по условию). * Чтобы доказать $AN=CM$, рассмотрим треугольники $\triangle ACN$ и $\triangle CAM$: - $AC$ — общая. - $AN$ (сторона в $\triangle ACN$ не является простой, здесь нужно рассмотреть треугольники $\triangle ABN$ и $\triangle CBM$ или аналогично). * **Более простой путь:** Рассмотрим $\triangle ACN$ и $\triangle CAM$: - $AC$ общая. - $\angle A = \angle C$ (углы при основании равнобедренного треугольника). - $AN = AB - NB = BC - NB$. (Если $AM$ и $CN$ отложены от вершин $A$ и $C$ соответственно). * Так как $AB=BC$ и $AM=CN$, то отрезки $BM = AB - AM$ и $BN = BC - CN$ равны ($BM=BN$). * Треугольники $\triangle ACN$ и $\triangle CAM$ равны по двум сторонам ($AC$ общая, $AN$ (через отрезки), $AM=CN$) и углу между ними (или по признаку равенства треугольников $\triangle ABN = \triangle CBM$). * Следовательно, $AN = CM$ как соответственные элементы равных треугольников.