В треугольнике ABC: AB = 7, sin A = 0,3 и sin B = 0,4. В каком отношении биссектриса CL делит сторону AB?

### Решение задания №3 По свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть: $AL : BL = AC : BC$ По теореме синусов: $\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$ Отсюда отношение сторон: $\frac{AC}{BC} = \frac{\sin B}{\sin A}$ Подставим известные значения: $\frac{AC}{BC} = \frac{0,4}{0,3} = \frac{4}{3}$ Значит, $AL : BL = 4 : 3$. **Ответ: 4/3** *** ### Решение задания №4 В треугольнике $ABC$ известна сторона $AB = a$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$. Тогда $\angle C = 180^{\circ} - (\alpha + \beta)$. Для нахождения длин биссектрис $l_A$ и $l_B$ воспользуемся теоремой синусов в треугольниках, образованных биссектрисами. 1. Рассмотрим $\triangle ABL_A$ (где $L_A$ на $BC$), в нем $\angle BAL = \alpha/2$, $\angle B = \beta$. Тогда $\angle AL_AB = 180^{\circ} - (\alpha/2 + \beta)$. По теореме синусов: $\frac{l_A}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin(180^{\circ} - (\alpha/2 + \beta))} = \frac{a}{\sin(\alpha/2 + \beta)}$ $l_A = \frac{a \sin \beta}{\sin(\alpha/2 + \beta)}$ 2. Рассмотрим $\triangle ABL_B$ (где $L_B$ на $AC$), в нем $\angle A = \alpha$, $\angle ABL_B = \beta/2$. Тогда $\angle AL_BB = 180^{\circ} - (\alpha + \beta/2)$. По теореме синусов: $\frac{l_B}{\sin \alpha} = \frac{a}{\sin(180^{\circ} - (\alpha + \beta/2))} = \frac{a}{\sin(\alpha + \beta/2)}$ $l_B = \frac{a \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta/2)}$ **Ответ: $l_A = \frac{a \sin \beta}{\sin(\alpha/2 + \beta)}$, $l_B = \frac{a \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta/2)}$**