Отрицательные числа a и b связаны соотношением 5a^2 - 2b^2 = 3ab. Найдите значение выражения 3a(a+b) / b(2a-b).

Дано уравнение: $5a^2 - 2b^2 = 3ab$ Перенесем всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $a$: $5a^2 - 3ab - 2b^2 = 0$ Разделим обе части на $b^2$ (так как $b \neq 0$, иначе $5a^2 = 0$, следовательно $a=0$, что противоречит условию, что числа отрицательные). Обозначим $x = \frac{a}{b}$: $5(\frac{a}{b})^2 - 3(\frac{a}{b}) - 2 = 0$ $5x^2 - 3x - 2 = 0$ Найдем корни через дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$ $x_1 = \frac{3 + 7}{10} = 1$ $x_2 = \frac{3 - 7}{10} = -0.4 = -\frac{2}{5}$ Так как $a$ и $b$ — отрицательные числа, их отношение $\frac{a}{b}$ должно быть положительным. Значит, $\frac{a}{b} = 1$, то есть $a = b$. Однако, проверим подстановку в исходное выражение $\frac{3a(a+b)}{b(2a-b)}$. Если $a=b$, то выражение превращается в деление на ноль: $b(2b-b) = b^2 \neq 0$, но числитель равен $3a(2a) = 6a^2$. Стоп, пересчитаем уравнение $5a^2 - 3ab - 2b^2 = 0$: Разложим на множители: $5a^2 - 5ab + 2ab - 2b^2 = 0$ $5a(a - b) + 2b(a - b) = 0$ $(5a + 2b)(a - b) = 0$ Значит, либо $a = b$, либо $5a = -2b$ (т.е. $b = -2.5a$). Поскольку $a$ и $b$ отрицательные, $b = -2.5a$ подходит (оба отрицательные). Случай $a=b$ также подходит (оба отрицательные). Проверим условие на выражение $\frac{3a(a+b)}{b(2a-b)}$. Если $a=b$, то $\frac{3a(2a)}{a(2a-a)} = \frac{6a^2}{a^2} = 6$. Если $b = -2.5a$, то $\frac{3a(a - 2.5a)}{-2.5a(2a - (-2.5a))} = \frac{3a(-1.5a)}{-2.5a(4.5a)} = \frac{-4.5a^2}{-11.25a^2} = \frac{4.5}{11.25} = 0.4 = \frac{2}{5}$. В условиях обычно подразумевается единственное решение. Уточним, что $5a^2 - 3ab - 2b^2 = 0$. Условие «отрицательные числа $a$ и $b$» допускает $a=b$. Проверим, допустимо ли $a=b$ в знаменателе: $b(2a-b) = b(2b-b) = b^2$. Так как $b < 0$, $b^2 > 0$, деление возможно. Ответ: 6 или 0,4.