Определите число корней уравнения: а) 9x^2 + 12x + 4 = 0; б) 2x^2 + 3x - 11 = 0.

Привет! Давай разберем эти задачи по Алгебре. Так как вариантов два, я предложу решения для каждого номера в обоих вариантах. ### Вариант 1 **1. Определение числа корней (через дискриминант $D = b^2 - 4ac$):** а) $9x^2 + 12x + 4 = 0$. $D = 12^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0$. Так как $D = 0$, **1 корень**. б) $2x^2 + 3x - 11 = 0$. $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 9 + 88 = 97 > 0$. Так как $D > 0$, **2 корня**. **2. Решение уравнений:** а) $x^2 - 14x + 33 = 0$. По теореме Виета: $x_1+x_2 = 14, x_1x_2 = 33$. Корни **3 и 11**. б) $-3x^2 + 10x - 3 = 0$. Умножим на $-1$: $3x^2 - 10x + 3 = 0$. $D = 100 - 36 = 64$. $x = \frac{10 \pm 8}{6}$. $x_1 = 3, x_2 = \frac{1}{3}$. в) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$. Замена $t = x^2$ ($t \ge 0$): $t^2 - 10t + 9 = 0$. $t_1 = 1, t_2 = 9$. Тогда $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$; $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. Ответ: **-3, -1, 1, 3**. **3. Прямоугольник:** Пусть одна сторона $x$, другая $x+9$. Площадь: $x(x+9) = 112$. $x^2 + 9x - 112 = 0$. $D = 81 - 4(-112) = 529 = 23^2$. $x = \frac{-9 + 23}{2} = 7$. Стороны: **7 см и 16 см**. **4. Дробное уравнение:** $?rac{10}{25-x^2} - ?rac{1}{5+x} - ?rac{x}{x-5} = 0$. Умножим на $-(x-5)(x+5) = 25-x^2$ ($x \neq \pm 5$): $10 - (x-5) - x(x+5) = 0 \Rightarrow 10 - x + 5 - x^2 - 5x = 0 \Rightarrow -x^2 - 6x + 15 = 0 \Rightarrow x^2 + 6x - 15 = 0$. $D = 36 - 4(-15) = 96$. $x = \frac{-6 \pm \sqrt{96}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{6}$. **5. Параметр:** $4x^2 + px + 9 = 0$. Один корень, если $D = 0$. $p^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0 \Rightarrow p^2 = 144$. Ответ: **$p = 12$ или $p = -12$**. --- ### Вариант 2 **1. Число корней:** а) $3x^2 + 7x - 25 = 0$. $D = 49 - 4 \cdot 3 \cdot (-25) = 49 + 300 = 349 > 0$. **2 корня**. б) $2x^2 + x + 5 = 0$. $D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 1 - 40 = -39 < 0$. **Корней нет**. **2. Решение уравнений:** а) $x^2 - 11x - 42 = 0$. $D = 121 - 4(-42) = 121 + 168 = 289 = 17^2$. $x = \frac{11 \pm 17}{2}$. $x_1 = 14, x_2 = -3$. б) $-2x^2 - 5x - 2 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 5x + 2 = 0$. $D = 25 - 16 = 9$. $x = \frac{-5 \pm 3}{4}$. $x_1 = -0.5, x_2 = -2$. в) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$. Замена $t = x^2$: $t^2 - 13t + 36 = 0$. $(t-4)(t-9) = 0$. $x^2 = 4 (x=\pm 2)$, $x^2 = 9 (x=\pm 3)$. Ответ: **-3, -2, 2, 3**. **3. Треугольник:** Катеты $x$ и $x-5$. Площадь $0.5 \cdot x(x-5) = 42 \Rightarrow x^2 - 5x - 84 = 0$. $D = 25 - 4(-84) = 361 = 19^2$. $x = \frac{5+19}{2} = 12$. Катеты: **12 см и 7 см**. **4. Дробное уравнение:** $?rac{x}{x-2} + ?rac{8}{4-x^2} - ?rac{1}{x+2} = 0$. Умножим на $(x-2)(x+2) = x^2-4$ ($x \neq \pm 2$): $x(x+2) - 8 - (x-2) = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 - x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0$. $(x+3)(x-2) = 0$. $x = -3$ или $x = 2$. Но $x \neq 2$ (знаменатель). Ответ: **$x = -3$**. **5. Параметр:** $x^2 - px + p = 0$. $D = (-p)^2 - 4p = 0 \Rightarrow p^2 - 4p = 0 \Rightarrow p(p-4) = 0$. Ответ: **$p=0$ или $p=4$**.