Окр(O; R), где O — её центр, R — радиус; R = AO = OC = OD = OE; BD || AC; EC = 110°. Найдите ∠BDE.

Дано: Окружность с центром $O$, радиус $R$. $AC$ — диаметр. $BD \parallel AC$. Дуга $\text{EC} = 110^\circ$. Найти $\angle BDE$. 1. Так как $AC$ — диаметр, то дуга $AEC = 180^\circ$. У нас есть дуга $\text{EC} = 110^\circ$, значит, дуга $AE = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. 2. Угол $\angle AOE$ — центральный, он опирается на дугу $AE$, поэтому $\angle AOE = 70^\circ$. Поскольку $\triangle AOE$ равнобедренный ($AO=OE=R$), то углы при основании $AE$ равны: $\angle OAE = \angle OEA = (180^\circ - 70^\circ) / 2 = 55^\circ$. 3. Так как $BD \parallel AC$, то накрест лежащие углы при секущей $DE$ равны. Угол $\angle BDE = \angle DEC$. 4. Точки $D$ и $E$ лежат на окружности. Заметим, что треугольник $ODE$ равнобедренный ($OD=OE=R$). Угол $\angle DOE$ — это центральный угол, опирающийся на дугу $DE$. 5. Проще: $\angle BDE$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $BE$. По теореме о вписанном угле, $\angle BDE = \frac{1}{2} \text{дуги } BE$. 6. Дуга $ABC = 180^\circ$. Так как $BD \parallel AC$, то дуги между параллельными хордами равны, значит, дуга $AB = \text{дуге } CD$. 7. Дуга $ED = 360^\circ - (110^\circ + 70^\circ + \text{дуга } CD + \text{дуга } AB)$. Однако проще заметить: в равнобедренной трапеции (или просто из параллельности) углы $\angle BDE = \angle DEC$. Из треугольника $ODE$ (где $OD=OE$): $\angle ODE = \angle OED = (180^\circ - \angle DOE) / 2$. $\angle DOE$ опирается на дугу $DE = 360^\circ - (110^\circ + \text{дуга } AE + \text{дуга } AB + \text{дуга } CD) = 360^\circ - (110^\circ + 70^\circ + \text{дуга } AB + \text{дуга } CD)$. 8. Верный путь: $\triangle ODE$ равнобедренный, $\angle ODE = \angle OED$. Поскольку $BD \parallel AC$, то $\angle BDE = \angle DEC$. Угол $\angle DEC = \angle OED + \angle OEC$. Ответ: 35^\circ.