∫ y(x - y)dx + xdy по кривой y = 2x^2 от точки O(0;0) до A(1;2).

Question

Вопрос:

∫ y(x - y)dx + xdy по кривой y = 2x^2 от точки O(0;0) до A(1;2).

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для вычисления криволинейного интеграла второго рода $\int_{OA} y(x-y)dx + xdy$ по кривой $y=2x^2$, выполним замену переменной. 1. Параметризуем кривую: Пусть $x = t$, тогда $y = 2t^2$. Дифференциалы: $dx = dt$, $dy = 4tdt$. Пределы интегрирования: от $O(0;0)$ до $A(1;2)$, значит $t$ меняется от $0$ до $1$. 2. Подставим в интеграл: $\int_{0}^{1} 2t^2(t - 2t^2)dt + t(4tdt) = \int_{0}^{1} (2t^3 - 4t^4 + 4t^2)dt$ 3. Вычислим определенный интеграл: $\int_{0}^{1} (4t^2 + 2t^3 - 4t^4)dt = \left[ \frac{4t^3}{3} + \frac{2t^4}{4} - \frac{4t^5}{5} \right]_0^1 = \left[ \frac{4}{3} + \frac{1}{2} - \frac{4}{5} \right]$ Приведем к общему знаменателю $30$: $\frac{40}{30} + \frac{15}{30} - \frac{24}{30} = \frac{31}{30}$ Ответ: $\frac{31}{30} \approx 1,033$. :::div .chart-container @chart-1:::

∫ y(x - y)dx + xdy по кривой y = 2x^2 от точки O(0;0) до A(1;2).

Ответ ассистента

Другие решения