В прямоугольном треугольнике EFG с прямым углом при вершине G проведена биссектриса EN. Точка M стороны EF принадлежит продолжению высоты GJ треугольника EGN. Периметр треугольника EGM равен 36, а длина отрезка EJ равна 11.

Давай разберем эту задачу вместе. ### 1. Докажем равенство треугольников Рассмотрим треугольники $\triangle EGJ$ и $\triangle EGM$: - $EG$ — общая сторона. - $\angle GEJ = \angle GEM$, так как $EN$ — биссектриса угла $E$ в треугольнике $EFG$. - $\angle EJG = \angle EGM = 90^\circ$ (по условию $GJ$ — высота, $GJ \perp EN$, следовательно, при продолжении высота сохраняет свойство перпендикулярности). Значит, $\triangle EGJ = \triangle EGM$ по стороне и двум прилежащим углам (или по катету и острому углу). **Ответ:** Треугольники $\text{EGJ}$ и $\text{EGM}$ равны по стороне и двум прилежащим углам. ### 2. Найдем периметр треугольника $EGJ$ Так как $\triangle EGJ = \triangle EGM$, то соответствующие элементы этих треугольников равны: - $EJ = EM = 11$ - $GJ = GM$ - $EG = EG$ (общая) Периметр треугольника $EGM$ состоит из сторон $EG + GM + EM = 36$. Подставим известные значения: $EG + GM + 11 = 36$ $EG + GM = 25$ Так как $\triangle EGJ = \triangle EGM$, то периметр $\triangle EGJ$ равен периметру $\triangle EGM$: $P_{EGJ} = EG + GJ + EJ$ Так как $EG + GJ = EG + GM = 25$ и $EJ = 11$, но здесь стороны соответствуют: $P_{EGJ} = EG + GJ + EJ = 25 + 11 = 36$. **Ответ:** $P_{EGJ} = 36$.