23.10. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 1 : 4. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 36 см².

### Решение задач: **23.10** Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a < b$. Биссектриса угла прямоугольника, проведенная к диагонали, делит её на отрезки, пропорциональные сторонам (по свойству биссектрисы угла треугольника, образованного диагональю и сторонами). Отношение отрезков 1 : 4 означает $a : b = 1 : 4$, следовательно, $b = 4a$. 1. Площадь прямоугольника $S = a \cdot b = a \cdot 4a = 4a^2$. 2. По условию $4a^2 = 36$, значит $a^2 = 9$, откуда $a = 3$ см. 3. Сторона $b = 4 \cdot 3 = 12$ см. 4. Периметр $P = 2(a + b) = 2(3 + 12) = 2 \cdot 15 = 30$ см. **Ответ: 30 см.** **23.11** Чтобы разделить фигуру (прямоугольник с вырезанным отверстием) на две равновеликие, нужно провести прямую через центры симметрии обоих прямоугольников (большого и малого). Такая прямая будет делить площадь фигуры пополам. **23.12** Для построения квадрата, площадь которого равна сумме площадей двух данных ($S = a^2 + b^2$): 1. Постройте прямоугольный треугольник с катетами, равными сторонам данных квадратов ($a$ и $b$). 2. Гипотенуза этого треугольника $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ будет являться стороной искомого квадрата. **23.13** Для построения квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ ($S = ab$): 1. Постройте полукруг с диаметром $a + b$. 2. В точке соединения отрезков $a$ и $b$ восстановите перпендикуляр до пересечения с окружностью. 3. Отрезок этого перпендикуляра равен среднему геометрическому $\sqrt{ab}$, что и будет стороной искомого квадрата. **23.14** Площадь четырехугольника $KLMN$ находится как разность площади прямоугольника $ABCD$ (равной $Q$) и площадей четырех треугольников, примыкающих к сторонам $KLMN$ внутри прямоугольника $ABCD$. Если обозначить площади этих треугольников как $S_1, S_2, S_3, S_4$, то $Area(KLMN) = Q - (S_1 + S_2 + S_3 + S_4)$. Для точного числового ответа необходимы размеры отрезков, на которые разбиты стороны прямоугольника, так как площади треугольников зависят от этих пропорций.