1. Упростите выражение: а) 2x(x - 3) - 3x(x + 5); б) (a + 7)(a - 1) + (a - 3)^2; в) 3(y + 5)^2 - 3y^2;

### 1. Упростите выражение: а) $2x(x - 3) - 3x(x + 5) = 2x^2 - 6x - 3x^2 - 15x = -x^2 - 21x$ б) $(a + 7)(a - 1) + (a - 3)^2 = a^2 - a + 7a - 7 + a^2 - 6a + 9 = 2a^2 + 2$ в) $3(y + 5)^2 - 3y^2 = 3(y^2 + 10y + 25) - 3y^2 = 3y^2 + 30y + 75 - 3y^2 = 30y + 75$ ### 2. Разложите на множители: а) $c^2 - 16c = c(c - 16)$ б) $3a^2 - 6ab + 3b^2 = 3(a^2 - 2ab + b^2) = 3(a - b)^2$ в) $b^3 + b^2 - 9b - 9 = b^2(b + 1) - 9(b + 1) = (b^2 - 9)(b + 1) = (b - 3)(b + 3)(b + 1)$ ### 3. Упростите выражение: а) $(x - 5)^2 + 2(x - 5)(16 - x) + (16 - x)^2$ Используем формулу квадрата суммы: $(u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$, где $u = x - 5$, $v = 16 - x$. $(x - 5 + 16 - x)^2 = (11)^2 = 121$ б) $(x - 4)^2 - 2(x - 4)(8 + x) + (8 + x)^2$ Используем формулу квадрата разности: $(u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$, где $u = x - 4$, $v = 8 + x$. $((x - 4) - (8 + x))^2 = (x - 4 - 8 - x)^2 = (-12)^2 = 144$ ### 4. Решите уравнение: а) $2x^3 - 18x = 0 \implies 2x(x^2 - 9) = 0 \implies 2x(x - 3)(x + 3) = 0$. Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 3, x_3 = -3$ б) $x^2 - 9 - 3x + 9 = 0 \implies x^2 - 3x = 0 \implies x(x - 3) = 0$. Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 3$ в) $x^2 + 12x + 36 = 0 \implies (x + 6)^2 = 0$. Ответ: $x = -6$ ### 5. Доказательство: Выделим полный квадрат: $-x^2 + 4x - 9 = -(x^2 - 4x + 9) = -(x^2 - 4x + 4 + 5) = -( (x - 2)^2 + 5 ) = -(x - 2)^2 - 5$. Так как $(x - 2)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $-(x - 2)^2 \le 0$. Вычитая $5$, получаем $-(x - 2)^2 - 5 \le -5$. Следовательно, выражение всегда отрицательно.