В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 10 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в два раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе? Запишите решение и ответ.

Пусть всего было $x$ мышек. 1. В первую ночь 10 головок сыра съели поровну, значит, каждая мышка съела $10/x$ головок. 2. Во вторую ночь 11 мышек съели оставшийся сыр. Количество съеденного каждой мышкой было в два раза меньше, т.е. $(10/x) / 2 = 5/x$ головок. 3. Всего во вторую ночь съели $11 \times (5/x) = 55/x$ головок сыра. 4. Так как во вторую ночь доели весь оставшийся сыр, то его количество равно $55/x$. 5. Изначально было всего головок сыра: $10 + 55/x$. Так как число сыра должно быть целым, то $x$ должно быть делителем числа 55. Делители 55: 1, 5, 11, 55. 6. По условию, во вторую ночь пришли "не все мышки", а 11, значит, $x > 11$. Подходит вариант $x = 55$. 7. Если $x = 55$, то изначально в погребе было $10 + 55/55 = 10 + 1 = 11$ головок сыра. Проверка: изначально 11 головок. Съели 10. Осталась 1 головка. Во вторую ночь 11 мышей съели эту 1 головку (каждая по $1/11$). В первую ночь 55 мышей съели 10 головок (каждая по $10/55 = 2/11$). $2/11$ в два раза больше $1/11$. Все верно. Ответ: 11 головок.