В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120 градусов при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на стороне BC, а вершина E — на стороне AB. Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 2.

Дано: $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AB=AC$, $\angle BAC = 120^\circ$. $BD$ — биссектриса. В треугольник вписан прямоугольник $DEFH$ ($FH \subset BC, E \in AB, D \in AC, H \in BC$). $AB=2$. Найдем площадь $S_{DEFH}$. 1. В $\triangle ABC$: $\angle BAC = 120^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, $\angle B = \angle C = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. 2. $BD$ — биссектриса $\angle B$, значит $\angle ABD = \angle CBD = 30^\circ / 2 = 15^\circ$. 3. Рассмотрим $\triangle ABD$. $\angle A = 120^\circ$, $\angle ABD = 15^\circ$. Тогда $\angle ADB = 180^\circ - (120^\circ + 15^\circ) = 45^\circ$. 4. По теореме синусов в $\triangle ABD$: $\frac{BD}{\sin 120^\circ} = \frac{AB}{\sin 45^\circ} \Rightarrow BD = \frac{2 \cdot \sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{6}$. 5. Высота треугольника $ABC$ к основанию $BC$ (обозначим $AH$) равна $AB \cdot \sin 30^\circ = 2 \cdot 0.5 = 1$. Основание $BC = 2 \cdot AB \cdot \cos 30^\circ = 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. 6. В прямоугольнике $DEFH$ пусть $FH=x$, $EF=DH=y$. Из подобия $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ и учитывая расположение, проще использовать высоту $h=1$ и основание $b=2\sqrt{3}$. Площадь прямоугольника $S = y \cdot x$. Отношение высот треугольников: $\frac{1-y}{1} = \frac{x}{2\sqrt{3}} \Rightarrow x = 2\sqrt{3}(1-y)$. 7. Из геометрии вписанного прямоугольника в $\triangle ABC$ с углом $120^\circ$: $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (максимальная площадь при оптимальных сторонах). **Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$**