В задачах найти неизвестную сторону.

Привет! Давай решим задачи на свойства прямоугольного треугольника. ### Задача 4 Дано: $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, катет $BC = 4$. Найти: гипотенузу $AB$. **Решение:** В прямоугольном треугольнике против угла в $30^\circ$ лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, $BC = \frac{1}{2} AB$, откуда $AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 4 = 8$. **Ответ: 8.** ### Задача 5 Дано: $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, гипотенуза $AB = 10$. Найти: катет $BC$. **Решение:** Сумма углов треугольника $180^\circ$, значит $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Катет $BC$ лежит против угла в $30^\circ$, следовательно, $BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$. **Ответ: 5.** ### Задача 6 Дано: $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, катет $AC = 6$. Найти: катет $BC$. **Решение:** $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Треугольник равнобедренный, так как углы при основании равны. Значит, $BC = AC = 6$. **Ответ: 6.** ### Задача 7 Дано: $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, высота $CD = 8$. Найти: гипотенузу $AB$. **Решение:** В $\triangle CDB$: $\angle DCB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Треугольник $CDB$ равнобедренный, $BD = CD = 8$. В $\triangle ADC$: $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Треугольник $ADC$ также равнобедренный, $AD = CD = 8$. Гипотенуза $AB = AD + DB = 8 + 8 = 16$. **Ответ: 16.** ### Задача 8 Дано: $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $\angle BEC = 60^\circ$, катет $EC = 7$. Найти: отрезок $AE$. **Решение:** 1. В $\triangle BEC$: $\angle EBC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Катет $EC$ лежит против угла в $30^\circ$, значит $EB = 2 \cdot EC = 2 \cdot 7 = 14$. 2. В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Катет $BC = EC \cdot \tan(60^\circ)$ или через свойства: $BC = EC \cdot \sqrt{3} = 7\sqrt{3}$. 3. В $\triangle ABC$: $AC = BC \cdot \cot(30^\circ) = 7\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 21$. 4. $AE = AC - EC = 21 - 7 = 14$. **Ответ: 14.**