Сравните выделенные дуги с полуокружностью и укажите те из них, для которых ∪AMB = 360° - ∠AOB.

Привет! Давай разберем твой тест по геометрии о центральных и вписанных углах. ### Задание 1 Нужно найти дуги, для которых выполняется равенство $\cup AMB = 360^\circ - \angle AOB$. Это значит, что $\cup AMB$ — это *большая* дуга окружности, дополняющая центральный угол до полной окружности. На рисунках это дуги, которые «обходят» центр с большей стороны. * **а)** Угол острый, дуга $AMB$ большая — подходит. * **б)** $AOB$ — диаметр (развернутый угол $180^\circ$). Условие $360 - 180 = 180$, дуга равна полуокружности. Обычно в таких тестах ищут именно *большую* дугу (больше $180^\circ$), но формально это частный случай. Однако посмотрим на рисунок: здесь дуга $AMB$ — как раз полуокружность. * **в)** Угол $AOB$ — прямой ($90^\circ$), дуга $AMB$ большая ($360 - 90 = 270^\circ$) — подходит. * **г)** $AOB$ — диаметр, дуга $AMB$ — полуокружность. Чаще всего такие задачи подразумевают под «большой дугой» ту, что больше $180^\circ$. Это варианты **а** и **в**. **Ответ: 3** ### Задание 2 Если центральный угол $AOB = 90^\circ$, то треугольник $AOB$ — прямоугольный и равнобедренный (так как стороны $OA = OB = r$). По теореме Пифагора гипотенуза $AB$ равна: $AB^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$ $AB = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}$ **Ответ: 4** ### Задание 3 Дан вписанный угол $\angle ORF = 47^\circ$. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга $TF = 2 \times 47^\circ = 94^\circ$. Вся окружность $360^\circ$. Дуга $RTF$ — это вся окружность минус дуга $RF$ (но на рисунке $RTF$ — это большая дуга, идущая от $R$ к $F$ через $T$). Обычно в таких задачах дуга $RTF$ — это дуга, стягивающаяся хордой $RF$, но здесь $T$ лежит на дуге. Если просто найти дугу, которую «вырезает» угол $47^\circ$, то дуга $TF = 94^\circ$. Если же нужно найти дугу $RTF$, то это $360^\circ - 94^\circ = 266^\circ$. Видимо, в условии опечатка, или дуга $TF = 94^\circ$ и это вариант 2 (ошибка в тексте вопроса). **Ответ: 2 (дуга TF = 94°)** ### Задание 4 Угол $ADC = 40^\circ$ — вписанный. Он опирается на дугу $AC$. Значит, дуга $AC = 2 \times 40^\circ = 80^\circ$. Хорда $CD$ — это диаметр (проходит через центр $O$). Значит, дуга $CAD = 180^\circ$. Дуга $AD = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. Угол $ABC$ — вписанный. Он опирается на дугу $ADC$, но это сложная фигура. Попробуем иначе: угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, которая равна $180^\circ + 100^\circ = 280^\circ$? Нет, он опирается на дугу $ADC$. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Вероятно, здесь $140^\circ$. **Ответ: 3**