763 Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку [-2π; -π]:

Для решения данных неравенств на промежутке $[-2\pi; -\pi]$ воспользуемся тригонометрическим кругом. 1) $1 + 2 \cos x \ge 0 \Rightarrow \cos x \ge -\frac{1}{2}$. На отрезке $[-2\pi; -\pi]$ косинус равен $-\frac{1}{2}$ при $x = -\frac{4\pi}{3}$. Так как $\cos x$ больше $-0,5$ на дуге от $-2\pi$ до $-4\pi/3$, получаем: **Ответ:** $[-2\pi; -\frac{4\pi}{3}]$. 2) $1 - 2 \sin x < 0 \Rightarrow \sin x > \frac{1}{2}$. Уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$ имеет корни $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. С учетом сдвига на $-2\pi$ получаем точки $-\frac{11\pi}{6}$ и $-\frac{7\pi}{6}$. **Ответ:** $(-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6})$. 3) $2 + \text{tg } x > 0 \Rightarrow \text{tg } x > -2$. Функция тангенса на $[-2\pi; -\pi]$ имеет разрыв в точке $-\frac{3\pi}{2}$. На промежутке $[-2\pi; -\frac{3\pi}{2})$ тангенс меняется от $0$ до $+\infty$, условие выполняется всегда. На промежутке $(-\frac{3\pi}{2}; -\pi]$ тангенс возрастает от $-\infty$ до $0$. Условие $\text{tg } x > -2$ выполняется при $x > -\text{arctg } 2 - \pi$. **Ответ:** $[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \cup (-\text{arctg } 2 - \pi; -\pi]$. 4) $1 - 2 \text{tg } x < 0 \Rightarrow \text{tg } x > 0,5$. На промежутке $[-2\pi; -\frac{3\pi}{2})$ тангенс меняется от $0$ до $+\infty$, условие выполняется при $x > \text{arctg } 0,5 - 2\pi$. На промежутке $(-\frac{3\pi}{2}; -\pi]$ тангенс отрицательный, условие не выполняется. **Ответ:** $(\text{arctg } 0,5 - 2\pi; -\frac{3\pi}{2})$.