Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку [-2π; -π]: 1) 1 + 2 cos x ≥ 0; 2) 1 - 2 sin x < 0; 3) 2 + tg x > 0; 4) 1 - 2 tg x ≤ 0.

Решение заданий №763 и №764 на промежутке $[-2\pi; -\pi]$: ### №763 1) $1 + 2 \cos x \ge 0$ $2 \cos x \ge -1$ $\cos x \ge -0{,}5$ На отрезке $[-2\pi; -\pi]$ косинус равен $-0{,}5$ в точках $-\frac{4\pi}{3}$ и $-\frac{2\pi}{3}$. Но у нас отрезок $[-2\pi; -\pi]$. Посмотрим на единичную окружность: $\cos x \ge -0{,}5$ выполняется на дуге от $-2\pi$ до $-\frac{4\pi}{3}$. **Ответ:** $[-2\pi; -\frac{4\pi}{3}]$. 2) $1 - 2 \sin x < 0$ $-2 \sin x < -1$ $\sin x > 0{,}5$ На отрезке $[-2\pi; -\pi]$ синус больше $0{,}5$ на интервале $(-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6})$. **Ответ:** $(-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6})$. 3) $2 + \operatorname{tg} x > 0$ $\operatorname{tg} x > -2$ Функция тангенса на $[-2\pi; -\pi]$ возрастает от $-\infty$ до $+\infty$ (разрыв в точке $-1{,}5\pi$). Решение: $(-2\pi; -1{,}5\pi) \cup (\operatorname{arctg}(-2) - 2\pi; -\pi]$. (Или точнее, учитывая область определения: $(-2\pi; -1{,}5\pi) \cup (-2\pi + \operatorname{arctg}(-2); -\pi]$). 4) $1 - 2 \operatorname{tg} x \le 0$ $-2 \operatorname{tg} x \le -1$ $\operatorname{tg} x \ge 0{,}5$ Решение на $( -2\pi; -\pi]$: $[\operatorname{arctg}(0{,}5) - 2\pi; -1{,}5\pi) \cup [\operatorname{arctg}(0{,}5) - \pi; -\pi]$. ### №764 1) $\cos x = x^3$ Графики $y = \cos x$ и $y = x^3$ пересекаются в одной точке (около $x \approx 0{,}86$). **Ответ:** 1 корень. 2) $\sin x = \frac{x}{2}$ Графики $y = \sin x$ и $y = 0{,}5x$ пересекаются в трех точках: в начале координат ($x=0$) и двух симметричных точках (около $x \approx \pm 1{,}89$). **Ответ:** 3 корня.