Две окружности касаются внешним образом в точке К. Прямая АВ - их общая внешняя касательная, где А и В - точки касания. Прямая КМ - общая внутренняя касательная этих окружностей. Найдите величину ∠АКВ.

Question

Вопрос:

Две окружности касаются внешним образом в точке К. Прямая АВ - их общая внешняя касательная, где А и В - точки касания. Прямая КМ - общая внутренняя касательная этих окружностей. Найдите величину ∠АКВ.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть $M$ — точка пересечения общей внутренней касательной с общей внешней касательной $AB$. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных равны: 1. Для первой окружности: $MA = MK$ (отрезки касательных из точки $M$ к первой окружности). 2. Для второй окружности: $MB = MK$ (отрезки касательных из точки $M$ к второй окружности). Из этих двух равенств следует, что $MA = MK = MB$. Значит, точка $M$ является серединой отрезка $AB$, и треугольник $\triangle AKB$ вписан в окружность с центром $M$ и диаметром $AB$. Так как $MK$ — медиана треугольника $AKB$, проведенная к стороне $AB$, и при этом $MK = \frac{1}{2}AB$, то треугольник $AKB$ прямоугольный (по свойству медианы, равной половине стороны, к которой она проведена). Угол $\angle AKB$ опирается на диаметр $AB$, следовательно, он прямой. **Ответ: 90^\circ**

Ответ ассистента

Другие решения