Через точку A проведены касательная AB (B — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках C и D. Найдите CD, если: а) AB = 4 см, AC = 2 см; б) AB = 5 см, AD = 10 см.

Привет! Давай разберем задачи по геометрии. Это классические задачи на свойство касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. ### Решение задачи 671 Условие: Через точку $A$ проведены касательная $AB$ и секущая, которая пересекает окружность в точках $C$ и $D$. Найдите $CD$, если: а) $AB=4$ см, $AC=2$ см; б) $AB=5$ см, $AD=10$ см. Согласно теореме о касательной и секущей: квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть. $AB^2 = AC \cdot AD$ Секущая $AD = AC + CD$, значит $AD = AC + CD$. **а)** $AB=4$, $AC=2$. $4^2 = 2 \cdot AD \Rightarrow 16 = 2 \cdot AD \Rightarrow AD = 8$. $AD = AC + CD \Rightarrow 8 = 2 + CD \Rightarrow CD = 6$ см. **б)** $AB=5$, $AD=10$. $5^2 = AC \cdot 10 \Rightarrow 25 = AC \cdot 10 \Rightarrow AC = 2,5$. $AD = AC + CD \Rightarrow 10 = 2,5 + CD \Rightarrow CD = 7,5$ см. **Ответ:** а) 6 см; б) 7,5 см. ### Решение задачи 672 Условие: Через точку $A$, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках $B_1$ и $C_1$, а другая — в точках $B_2$ и $C_2$. Докажите, что $AB_1 \cdot AC_1 = AB_2 \cdot AC_2$. Рассмотрим треугольники $\triangle AB_1C_2$ и $\triangle AB_2C_1$ (или аналогичные подобные треугольники, образованные хордами). По теореме о произведении отрезков секущих: для любой секущей, проведенной из одной точки к окружности, произведение всей секущей на её внешнюю часть есть величина постоянная и равная квадрату касательной, проведенной из той же точки. Так как из точки $A$ можно провести касательную $AT$, то для любой секущей $AC_iB_i$ выполняется: $AB_i \cdot AC_i = AT^2$. Следовательно, и $AB_1 \cdot AC_1 = AT^2$, и $AB_2 \cdot AC_2 = AT^2$. Значит, $AB_1 \cdot AC_1 = AB_2 \cdot AC_2$, что и требовалось доказать. ### Решение задачи 673 Условие: К данной окружности постройте касательную, проходящую через данную точку вне окружности. Построение: 1. Обозначим центр окружности $O$, а точку вне неё $A$. 2. Соединим $O$ и $A$. Построим окружность с диаметром $OA$. 3. Точки пересечения построенной окружности с исходной окружностью (назовем их $M$ и $N$) и будут точками касания. 4. Проводим прямые $AM$ и $AN$. Это и есть искомые касательные, так как угол $AMO$ и угол $ANO$ опираются на диаметр и равны $90^\circ$ (они прямые, значит, радиус перпендикулярен касательной).