Решите уравнение (x - 4)^4 - (x - 4)^2 - 20 = 0.

Question

Вопрос:

Решите уравнение (x - 4)^4 - (x - 4)^2 - 20 = 0.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения этих уравнений воспользуемся методом введения новой переменной. ### 1. Уравнение $(x - 4)^4 - (x - 4)^2 - 20 = 0$ Пусть $(x - 4)^2 = t$, тогда $(x - 4)^4 = t^2$. При этом $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $t^2 - t - 20 = 0$. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 1$ $t_1 \cdot t_2 = -20$ Корни: $t_1 = 5$, $t_2 = -4$. Так как $t \ge 0$, корень $t = -4$ не подходит. Остается $t = 5$, т.е. $(x - 4)^2 = 5$. $x - 4 = \sqrt{5}$ или $x - 4 = -\sqrt{5}$ $x_1 = 4 + \sqrt{5}$, $x_2 = 4 - \sqrt{5}$. **Ответ:** $4 - \sqrt{5}; 4 + \sqrt{5}$. ### 2. Уравнение $(x - 4)^4 + 6(x - 4)^2 - 27 = 0$ Пусть $(x - 4)^2 = t$, где $t \ge 0$. Получаем уравнение: $t^2 + 6t - 27 = 0$. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -6$ $t_1 \cdot t_2 = -27$ Корни: $t_1 = -9$, $t_2 = 3$. Так как $t \ge 0$, корень $t = -9$ не подходит. Остается $t = 3$, т.е. $(x - 4)^2 = 3$. $x - 4 = \sqrt{3}$ или $x - 4 = -\sqrt{3}$ $x_1 = 4 + \sqrt{3}$, $x_2 = 4 - \sqrt{3}$. **Ответ:** $4 - \sqrt{3}; 4 + \sqrt{3}$.

Решите уравнение (x - 4)^4 - (x - 4)^2 - 20 = 0.

Ответ ассистента

Другие решения