8. Докажите неравенство: а) x^2+12x+37>0; б) a^2-6a>-12; в) a^2+b^2+8>=4(a+b).

### 8. Докажите неравенство: a) $x^2 + 12x + 37 > 0$ Выделим полный квадрат: $x^2 + 12x + 36 + 1 = (x + 6)^2 + 1$. Так как $(x + 6)^2 \ge 0$, то $(x + 6)^2 + 1 \ge 1 > 0$. Неравенство доказано. б) $a^2 - 6a > -12$ Перенесем -12 влево: $a^2 - 6a + 12 > 0$. Выделим полный квадрат: $a^2 - 6a + 9 + 3 = (a - 3)^2 + 3$. Так как $(a - 3)^2 \ge 0$, то $(a - 3)^2 + 3 \ge 3 > 0$. Неравенство доказано. в) $a^2 + b^2 + 8 \ge 4(a + b)$ Раскроем скобки: $a^2 + b^2 + 8 \ge 4a + 4b$. Перенесем всё влево: $a^2 - 4a + 4 + b^2 - 4b + 4 \ge 0$. Свернем полные квадраты: $(a - 2)^2 + (b - 2)^2 \ge 0$. Так как сумма квадратов действительных чисел всегда неотрицательна, неравенство верно. ### 9. Докажите, что правильная дробь $\frac{a}{b}$ ($a < b$) увеличится при прибавлении к числителю и знаменателю одного и того же положительного числа $x$ Нужно доказать, что $\frac{a+x}{b+x} > \frac{a}{b}$. Разность: $\frac{a+x}{b+x} - \frac{a}{b} = \frac{b(a+x) - a(b+x)}{b(b+x)} = \frac{ab + bx - ab - ax}{b(b+x)} = \frac{bx - ax}{b(b+x)} = \frac{x(b-a)}{b(b+x)}$. Так как по условию $x > 0$, $b > 0$, $b+x > 0$ и $a < b$ (значит $b-a > 0$), то вся дробь больше нуля. Следовательно, $\frac{a+x}{b+x} > \frac{a}{b}$. ### 10. Успеют ли туристы на поезд? Пусть $v$ — намеченная скорость (км/ч). Тогда запланированное время $t = \frac{18}{v}$. Путь состоит из двух половин по 9 км. Время в пути: $t_{факт} = \frac{9}{v-1} + \frac{9}{v+1} = \frac{9(v+1) + 9(v-1)}{(v-1)(v+1)} = \frac{9v + 9 + 9v - 9}{v^2 - 1} = \frac{18v}{v^2 - 1}$. Сравним $t_{факт}$ и $t$: $\frac{18v}{v^2 - 1} > \frac{18v}{v^2}$ (так как $v^2-1 < v^2$). Значит, $t_{факт} > t$. Туристы потратят больше времени, чем планировали, и могут не успеть на поезд.