Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол 60. Найдите отношение объёмов конуса и шара.

### Вариант № 1 1. Пусть высота конуса $H$, а радиус основания $R$. Из треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей, получаем $R = H / \tan 60^{\circ} = H / \sqrt{3}$. Объём конуса $V_k = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (H^2 / 3) H = \frac{1}{9} \pi H^3$. Диаметр шара $D = H$, значит радиус шара $r = H / 2$. Объём шара $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (H/2)^3 = \frac{1}{6} \pi H^3$. Отношение объёмов: $V_k / V_s = (\frac{1}{9} \pi H^3) / (\frac{1}{6} \pi H^3) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. **Ответ: 2/3** 2. Объём цилиндра $V = \pi r^2 H = 96\pi$, площадь сечения $S = 2rH = 48$. Разделим $V$ на $S$: $(\pi r^2 H) / (2rH) = 96\pi / 48 \Rightarrow \frac{\pi r}{2} = 2\pi \Rightarrow r = 4$. Тогда $4H = 24 \Rightarrow H = 6$. Радиус описанной сферы $R_{sph} = \frac{1}{2} \sqrt{(2r)^2 + H^2} = \frac{1}{2} \sqrt{8^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{100} = 5$. Площадь сферы $S = 4\pi R_{sph}^2 = 4\pi (25) = 100\pi$. **Ответ: 100\pi** 3. Площадь основания $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin 30^{\circ} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 0.5 = \sqrt{3}$. Меньшая диагональ $d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos 30^{\circ} = 4 + 3 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3}/2) = 7 - 6 = 1$. Высота $h = 1$. Объём пирамиды $V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{\sqrt{3}}{3}$. **Ответ: \frac{\sqrt{3}}{3}** ### Вариант № 2 1. В осевом сечении конуса — правильный треугольник со стороной $2r$. Высота $H = r\sqrt{3}$. Радиус вписанной сферы $R_s = \frac{1}{3} H = \frac{r\sqrt{3}}{3}$. Площадь сферы $S_s = 4\pi R_s^2 = 4\pi (3r^2 / 9) = \frac{4}{3} \pi r^2$. Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок} = \pi r l = \pi r (2r) = 2\pi r^2$. Отношение: $S_s / S_{бок} = (\frac{4}{3} \pi r^2) / (2\pi r^2) = \frac{2}{3}$. **Ответ: 2/3** 2. Осевое сечение цилиндра — квадрат, значит $H = 2r$. Диаметр шара $D = H = 2r$, радиус шара $r_s = r$. $V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3$. $V_{цил} = \pi r^2 H = \pi r^2 (2r) = 2\pi r^3$. Отношение: $V_{шара} / V_{цил} = (\frac{4}{3} \pi r^3) / (2\pi r^3) = \frac{2}{3}$. **Ответ: 2/3** 3. Площадь основания $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 0.5 = 2\sqrt{3}$. Стороны параллелограмма через диагонали: $a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \frac{d_1}{2} \frac{d_2}{2} \cos 150^{\circ}} = \sqrt{4+3 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})} = \sqrt{13}$. $b = \sqrt{4+3 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 1$. Меньшая сторона $1$, значит $h = 1$. $V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. **Ответ: \frac{2\sqrt{3}}{3}**