В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 9 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Пусть $x$ — количество мышек, пришедших в первую ночь. Тогда каждая мышка съела $\frac{9}{x}$ головок сыра. Во вторую ночь пришли 11 мышек, и каждая съела в 3 раза меньше сыра, чем в первую ночь, то есть $\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{x} = \frac{3}{x}$ головок сыра. Всего во вторую ночь мышки съели $11 \cdot \frac{3}{x} = \frac{33}{x}$ головок сыра. Так как сыр был доеден полностью, количество мышек $x$ должно быть таким, чтобы $\frac{33}{x}$ было целым числом, а также чтобы $\frac{9}{x}$ и $\frac{33}{x}$ имели смысл (количество сыра на одну мышку). Кроме того, $x$ должно быть больше 11 (так как "пришли не все мышки, а только 11"). Из уравнения $x > 11$ и того, что $x$ является делителем числа 33, следует, что таких целых значений $x$ нет (делители 33: 1, 3, 11, 33). Однако, если мышки могут съесть дробную часть, то $x$ может быть любым числом, делящим 33. Но по условию задачи подразумеваются целые мышки. Перепроверим условие: "пришли не все мышки, а только 11". Значит, общее число мышек $x > 11$. Если предположить, что сыр ели целыми головками, то $\frac{9}{x}$ должно быть целым, а значит $x$ — делитель 9. Но $x > 11$. Это невозможно. Вероятно, в условии подразумевается, что $\frac{9}{x}$ — это доля головки. Пусть $x$ — целое число мышек. 1) В первую ночь: $x$ мышек съели по $a$ головок сыра. Всего съели $x \cdot a = 9$. 2) Во вторую ночь: 11 мышек съели по $a/3$ головок. Всего съели $11 \cdot (a/3) = 11a/3$ головок. Так как $a = 9/x$, подставим: $11 \cdot (9/x) / 3 = 11 \cdot 3 / x = 33/x$. Так как $x$ — количество мышек, оно должно быть целым. А также $x > 11$ (так как пришли "не все, а только 11"). Если $x > 11$ и $x$ — делитель 33, то $x$ может быть только 33. Если $x = 33$, то в первую ночь съели 9 головок. Каждая мышка съела $9/33 = 3/11$ головки. Во вторую ночь 11 мышек съели по $(3/11) / 3 = 1/11$ головки. Всего $11 \cdot 1/11 = 1$ головка. Всего сыра было: $9 + 1 = 10$. **Ответ:** 10 головок сыра.