Билет №1. 1.Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Доказать, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

### Билет №1 **1. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Доказательство того, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.** * **Определение:** Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. * **Свойства:** * Противоположные стороны равны. * Противоположные углы равны. * Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. * Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. * **Доказательство:** Пусть дан параллелограмм $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD$. Так как $AB \parallel CD$, то накрест лежащие углы равны: $\angle OAB = \angle OCD$ и $\angle OBA = \angle ODC$. Стороны $AB$ и $CD$ равны как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по стороне и двум прилежащим углам. Из равенства треугольников следует, что $AO = OC$ и $BO = OD$. Что и требовалось доказать. **2. Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Значения для $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$.** * **Определение:** Синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. * **Значения:** * $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ * $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ * $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ **3. В выпуклом пятиугольнике длины сторон относятся как $5:7:8:9:10$, а его периметр равен $117$ см. Найти наибольшую сторону.** Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда стороны равны $5x, 7x, 8x, 9x, 10x$. Сумма периметра: $5x + 7x + 8x + 9x + 10x = 117$ $39x = 117$ $x = 3$ Наибольшая сторона $10x = 10 \cdot 3 = 30$ см. **Ответ:** 30 см. **4. В трапеции $ABCD$ ($AD$ — большое основание) диагональ $AC \perp CD$, $\angle BAC = \angle CAD$. Найти $AD$, если периметр равен $20$ см, а $\angle D = 60^\circ$.** 1. Так как $\angle BAC = \angle CAD$, то $AC$ — биссектриса. Поскольку $BC \parallel AD$, углы $\angle BCA = \angle CAD$ (как накрест лежащие). Значит, $\angle BCA = \angle BAC$, следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AB = BC$. 2. В прямоугольном треугольнике $\triangle ACD$ (так как $\angle ACD = 90^\circ$ по условию) имеем $\angle D = 60^\circ$, тогда $\angle CAD = 30^\circ$. Так как $\angle CAD = \angle BAC$, то $\angle BAC = 30^\circ$, значит $\angle A = 60^\circ$. 3. Так как $\angle A = \angle D = 60^\circ$, трапеция равнобедренная, $AB = CD = BC$. 4. Пусть $CD = x$. Тогда $BC = x, AB = x$. В $\triangle ACD$: $AD = CD / \sin 30^\circ = x / 0.5 = 2x$. Сторона $AC$ (катет против $60^\circ$) равна $x \cdot \sqrt{3}$. 5. Периметр $P = AB + BC + CD + AD = x + x + x + 2x = 5x = 20$. Отсюда $x = 4$. 6. $AD = 2x = 2 \cdot 4 = 8$ см. **Ответ:** 8 см.