а) Найдите НОД и НОК чисел 1643 и 1272.

### а) Найдем НОД(1643, 1272) с помощью алгоритма Евклида: $1643 = 1 \cdot 1272 + 371$ $1272 = 3 \cdot 371 + 159$ $371 = 2 \cdot 159 + 53$ $159 = 3 \cdot 53 + 0$ Так как последний отличный от нуля остаток равен 53, то **НОД(1643, 1272) = 53**. Теперь найдем НОК по формуле $\text{НОК}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\text{НОД}(a, b)}$: $\text{НОК}(1643, 1272) = \frac{1643 \cdot 1272}{53} = 31 \cdot 1272 = 39432$ **Ответ:** НОД = 53, НОК = 39432. ### б) Решим диофантово уравнение $1643x + 1272y = 318$ Сначала проверим разрешимость уравнения: НОД(1643, 1272) = 53. Число 318 делится на 53 ($318 / 53 = 6$), значит, уравнение имеет решения. Выразим НОД через комбинацию чисел (из алгоритма Евклида выше): $53 = 371 - 2 \cdot 159$ $159 = 1272 - 3 \cdot 371 \Rightarrow 53 = 371 - 2 \cdot (1272 - 3 \cdot 371) = 7 \cdot 371 - 2 \cdot 1272$ $371 = 1643 - 1272 \Rightarrow 53 = 7 \cdot (1643 - 1272) - 2 \cdot 1272 = 7 \cdot 1643 - 9 \cdot 1272$ Умножим обе части на 6, чтобы получить 318: $6 \cdot 53 = 6 \cdot (7 \cdot 1643 - 9 \cdot 1272)$ $318 = 42 \cdot 1643 - 54 \cdot 1272$ Частное решение: $x_0 = 42, y_0 = -54$. Общее решение: $x = 42 + \frac{1272}{53}k = 42 + 24k$ $y = -54 - \frac{1643}{53}k = -54 - 31k$ где $k \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $x = 42 + 24k, y = -54 - 31k$, где $k \in \mathbb{Z}$.