593 Найдите: а) sin α и tg α, если cos α = 1/2; б) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; г) cos α и tg α, если sin α = 1/4.

Question

Вопрос:

593 Найдите: а) sin α и tg α, если cos α = 1/2; б) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; г) cos α и tg α, если sin α = 1/4.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулой $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Поскольку четверть не указана, будем считать, что $\alpha$ находится в первой четверти, где все значения положительны. а) $\cos \alpha = \frac{1}{2}$. $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$. б) $\cos \alpha = \frac{2}{3}$. $\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. в) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$. $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$. г) $\sin \alpha = \frac{1}{4}$. $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$. $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1/4}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$.

593 Найдите: а) sin α и tg α, если cos α = 1/2; б) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; г) cos α и tg α, если sin α = 1/4.

Ответ ассистента

Другие решения