4. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол α.

### Решение задания 4 На рисунке изображен развернутый угол, равный $180^\circ$. Из рисунка видно, что развернутый угол состоит из угла $100^\circ$ и двух равных углов, каждый из которых обозначен $\alpha$. Таким образом: $100^\circ + 2\alpha = 180^\circ$ $2\alpha = 180^\circ - 100^\circ$ $2\alpha = 80^\circ$ $\alpha = 40^\circ$ **Ответ: 40** ### Решение задания 5 При пересечении параллельных прямых $m$ и $n$ секущей образуются накрест лежащие и соответственные углы. Пусть прямая, пересекающая $m$ и $n$, — это одна секущая. Угол $1$ и угол $3$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $m, n$ и секущей, значит, они равны: $\angle 3 = \angle 1 = 77^\circ$. Примечание: данные об угле $2$ в данном условии избыточны для поиска угла $3$, так как угол $3$ определяется напрямую через угол $1$. **Ответ: 77** ### Решение задания 6 В треугольнике $ABC$ стороны $BC$ и $AC$ равны, значит, треугольник равнобедренный с основанием $AB$. Угол при вершине $C$ равен $112^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, тогда сумма углов при основании равна: $\angle A + \angle B = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$. Биссектрисы $AM$ и $BM$ делят углы $A$ и $B$ пополам. В треугольнике $AMB$ углы при основании $AB$ будут: $\angle MAB = \frac{1}{2} \angle A$, $\angle MBA = \frac{1}{2} \angle B$. Сумма этих углов в треугольнике $AMB$ равна: $\angle MAB + \angle MBA = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 68^\circ = 34^\circ$. Искомый угол $\angle AMB = 180^\circ - (\angle MAB + \angle MBA) = 180^\circ - 34^\circ = 146^\circ$. **Ответ: 146**