1. Вычислите: (√42 + 1)^2 – 2√42.

1. $(\sqrt{42} + 1)^2 - 2\sqrt{42} = (\sqrt{42})^2 + 2\sqrt{42} + 1^2 - 2\sqrt{42} = 42 + 2\sqrt{42} + 1 - 2\sqrt{42} = 43$. Ответ: 43. 2. $(\sqrt{147} - \sqrt{108}) \cdot 7\sqrt{3} = (\sqrt{49 \cdot 3} - \sqrt{36 \cdot 3}) \cdot 7\sqrt{3} = (7\sqrt{3} - 6\sqrt{3}) \cdot 7\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot 7\sqrt{3} = 7 \cdot 3 = 21$. Ответ: 21. 3. $\sqrt{g^{12}} \cdot (-g)^2$ при $g = 2$. Т.к. $g=2 > 0$, то $\sqrt{g^{12}} = g^6$. Выражение: $g^6 \cdot g^2 = g^8$. Подставим $g=2$: $2^8 = 256$. Ответ: 256. 4. $\sqrt{\frac{c^4}{81x^2}}$ при $c=3, x=4$. Выражение равно $\frac{\sqrt{c^4}}{\sqrt{81x^2}} = \frac{c^2}{9|x|}$. Так как $x=4>0$, то $\frac{c^2}{9x}$. Подставим значения: $\frac{3^2}{9 \cdot 4} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 0,25$. Ответ: 0,25. 5. $\sqrt{f^2 - 18fh + 81h^2} = \sqrt{(f-9h)^2} = |f-9h|$. Дано $f = 1\frac{11}{20} = \frac{31}{20} = 1,55$ и $h = 1\frac{19}{20} = \frac{39}{20} = 1,95$. $|1,55 - 9 \cdot 1,95| = |1,55 - 17,55| = |-16| = 16$. Ответ: 16. 6. $y = \frac{4x-8}{4x^2-8x} = \frac{4(x-2)}{4x(x-2)} = \frac{1}{x}$, при $x \neq 0, x \neq 2$. График — гипербола с выколотыми точками $(0; \dots)$ и $(2; 0,5)$. Прямая $y=kx$ проходит через начало координат. Гипербола $y=1/x$ не пересекает начало координат. Чтобы прямая $y=kx$ имела ровно одну общую точку с гиперболой, она должна проходить через одну из «выколотых» точек (потому что в остальных случаях гипербола не пересекается с прямой, проходящей через начало координат). Точка $(2; 0,5): 0,5 = k \cdot 2 \Rightarrow k = 0,25$. Ответ: $k=0,25$. 7. $y = \frac{2x+4}{2x^2+4x} = \frac{2(x+2)}{2x(x+2)} = \frac{1}{x}$, при $x \neq 0, x \neq -2$. График — гипербола с выколотыми точками $(0; \dots)$ и $(-2; -0,5)$. Прямая $y=kx$ пересекает гиперболу в одной точке, если проходит через выколотую точку $(-2; -0,5)$. $-0,5 = k \cdot (-2) \Rightarrow k = 0,25$. Ответ: $k=0,25$.