Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Пусть треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. Обозначим $AB$ и $AC$ как боковые стороны ($AB=AC$). 1. Согласно свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны: - Отрезок от вершины $B$ до точки касания на стороне $BC$ равен отрезку от $B$ до точки касания на $AB$. Пусть это $x = 3$ см (так как отрезки на боковой стороне от точки касания до вершин равны 3 см и 4 см, и ближайший к основанию — 3 см). - Таким образом, отрезок от вершины $B$ до точки касания на $BC$ равен $3$ см. - Отрезок от вершины $B$ до точки касания на боковой стороне $AB$ равен $3$ см. - Отрезок от вершины $A$ (вершина треугольника) до точки касания на $AB$ равен $4$ см. - Следовательно, боковая сторона $AB = 3 + 4 = 7$ см. Так как треугольник равнобедренный, $AC = 7$ см. 2. Отрезок от вершины $C$ до точки касания на $AC$ также равен $4$ см. - Отрезок от вершины $C$ до точки касания на основании $BC$ равен $3$ см (как и у вершины $B$). - Основание $BC = 3 + 3 = 6$ см. 3. Периметр $P = AB + AC + BC = 7 + 7 + 6 = 20$ см. **Ответ: 20 см.**