Найдите сумму всех целочисленных решений неравенства: (x^3 + 2x^2 + 7) / (7 - x) >= 1.

Для решения неравенства $\frac{x^3 + 2x^2 + 7}{7 - x} \ge 1$ перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{x^3 + 2x^2 + 7}{7 - x} - 1 \ge 0$ $\frac{x^3 + 2x^2 + 7 - (7 - x)}{7 - x} \ge 0$ $\frac{x^3 + 2x^2 + x}{7 - x} \ge 0$ Разложим числитель на множители: $\frac{x(x^2 + 2x + 1)}{7 - x} \ge 0$ $\frac{x(x + 1)^2}{7 - x} \ge 0$ Теперь найдем нули числителя и знаменателя: 1. $x = 0$ 2. $(x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$ 3. $7 - x = 0 \Rightarrow x = 7$ (выколотая точка, так как это знаменатель) Решим методом интервалов: - Рассмотрим точки: $x = -1$, $x = 0$, $x = 7$. - При $x > 7$ (например, $x = 8$): числитель положительный, знаменатель отрицательный $\Rightarrow$ значение $< 0$. - При $0 < x < 7$ (например, $x = 1$): числитель положительный ($1 \cdot 4 = 4$), знаменатель положительный ($6$) $\Rightarrow$ значение $> 0$. (Подходит) - При $-1 < x < 0$ (например, $x = -0.5$): числитель отрицательный ($-0.5 \cdot 0.25 < 0$), знаменатель положительный $\Rightarrow$ значение $< 0$. - При $x < -1$ (например, $x = -2$): числитель отрицательный ($-2 \cdot 1 < 0$), знаменатель положительный $\Rightarrow$ значение $< 0$. - Точка $x = -1$: значение равно 0 (подходит, так как неравенство нестрогое). Подходящие промежутки: $\{ -1 \} \cup [0, 7)$. Целочисленные решения на этом промежутке: $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Сумма решений: $(-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20$. **Ответ: 20**