В турнире по шахматам сыграли 10 пятиклассников и шестиклассников, причём пятиклассников было большинство. Известно, что в каждой партии участвовали пятиклассник и шестиклассник. Сколько пятиклассников участвовали в турнире?

Для решения задачи разделим всех участников на две группы так, чтобы партии проходили только между представителями разных групп (это называется двудольный граф). 1. Выпишем всех участников: Аня, Егор, Таня, Ульяна, Женя, Гриша, Федя, Кристина, Вика, Рома. Всего 10 человек. 2. Посмотрим, кто с кем играл: - Аня играла с: Егором, Федей, Кристиной, Викой. - Женя играла с: Гришей, Егором. - Ульяна играла с: Таней, Егором, Ромой. Заметим, что Егор играл с Аней, Женей и Ульяной. Разделим детей на группы: - Первая группа: Аня, Женя, Ульяна (3 человека). - Вторая группа: Егор, Федя, Кристина, Вика, Гриша, Таня, Рома (7 человек). Проверим условие: партии проходят только между участниками из разных групп. Это выполняется. Так как пятиклассников большинство, их должно быть больше, чем шестиклассников. Значит, пятиклассников — 7, а шестиклассников — 3. Условие $7 > 3$ соблюдено. **Ответ: 7**