{\sqrt{x + y} + \sqrt{x^2 + xy} = 3, x + y + x^2 + xy = 5.

Привет! Давай решим эту систему уравнений методом замены переменной. Она здесь отлично подходит. Система: $\begin{cases} \sqrt{x + y} + \sqrt{x^2 + xy} = 3 \\ x + y + x^2 + xy = 5 \end{cases}$ 1. Заметим, что $x^2 + xy = x(x+y)$. 2. Пусть $u = \sqrt{x+y}$ (где $u \ge 0$) и $v = \sqrt{x^2+xy}$ (где $v \ge 0$). Тогда первое уравнение принимает вид: $u + v = 3$. 3. Возведем в квадрат наши переменные: $u^2 = x + y$ $v^2 = x^2 + xy$ Подставим это во второе уравнение: $u^2 + v^2 = 5$. 4. Получили новую систему для $u$ и $v$: $\begin{cases} u + v = 3 \\ u^2 + v^2 = 5 \end{cases}$ Выразим $v = 3 - u$ и подставим во второе уравнение: $u^2 + (3 - u)^2 = 5$ $u^2 + 9 - 6u + u^2 = 5$ $2u^2 - 6u + 4 = 0$ $u^2 - 3u + 2 = 0$ По теореме Виета корни: $u_1 = 1$, $u_2 = 2$. Если $u = 1$, то $v = 3 - 1 = 2$. Проверка: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$ (верно). Если $u = 2$, то $v = 3 - 2 = 1$. Проверка: $2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$ (верно). Теперь вернемся к $x$ и $y$: Случай 1: $\begin{cases} x+y = 1^2 = 1 \\ x^2+xy = 2^2 = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+y = 1 \\ x(x+y) = 4 \end{cases}$ Подставляем $x+y=1$ во второе: $x \cdot 1 = 4 \Rightarrow x = 4$. Тогда $4 + y = 1 \Rightarrow y = -3$. Пара $(4; -3)$. Случай 2: $\begin{cases} x+y = 2^2 = 4 \\ x^2+xy = 1^2 = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+y = 4 \\ x(x+y) = 1 \end{cases}$ Подставляем $x+y=4$ во второе: $x \cdot 4 = 1 \Rightarrow x = 0,25$. Тогда $0,25 + y = 4 \Rightarrow y = 3,75$. Пара $(0,25; 3,75)$. **Ответ:** (4; -3); (0,25; 3,75).