2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) + \cos 2x = \sqrt{3} \cos x + 1

Для решения уравнения $2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) + \cos 2x = \sqrt{3} \cos x + 1$ воспользуемся формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$. **а) Решение уравнения:** 1. Раскроем скобки: $2(\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3}) + \cos 2x = \sqrt{3} \cos x + 1$ $2(\sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos 2x = \sqrt{3} \cos x + 1$ $\sin x + \sqrt{3} \cos x + \cos 2x = \sqrt{3} \cos x + 1$ 2. Упростим уравнение, вычитая $\sqrt{3} \cos x$ из обеих частей: $\sin x + \cos 2x = 1$ 3. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$: $\sin x + 1 - 2 \sin^2 x = 1$ $\sin x - 2 \sin^2 x = 0$ $\sin x (1 - 2 \sin x) = 0$ 4. Получаем два случая: - $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ - $1 - 2 \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **б) Отбор корней на промежутке $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$:** 1. Для корней $x = \pi n$: $-3\pi \le \pi n \le -1.5\pi \Rightarrow -3 \le n \le -1.5$. Целые $n$ — это $-3$ и $-2$. Корни: $x = -3\pi$ и $x = -2\pi$. 2. Для корней $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ (из серии $(-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$): $-3\pi \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le -1.5\pi$ $-3.16\pi \le 2\pi k \le -1.66\pi$ $-1.58 \le k \le -0.83 \Rightarrow k = -1$. $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$. 3. Для корней $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ (из серии $(-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$): $-3\pi \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le -1.5\pi$ $-3.83\pi \le 2\pi k \le -2.33\pi$ $-1.91 \le k \le -1.16$. Целых $k$ нет на этом промежутке. **Ответ:** а) $x = \pi n, x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi, -2\pi, -\frac{11\pi}{6}$.