В трапеции ABCD <A = <D. O — центр вписанной окружности AM = 9, CN = 4. Найдите периметр трапеции.

Так как $\angle A = \angle D$, трапеция $ABCD$ является равнобедренной. Точка $O$ — центр вписанной окружности, значит, она лежит на пересечении биссектрис углов трапеции. 1. Обозначим точки касания окружности со сторонами: $M$ — на $AB$, $N$ — на $CD$, $K$ — на $BC$, $L$ — на $AD$. Известно, что $AM = 9$, $CN = 4$. 2. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности: - $AM = AL = 9$ - $CN = CK = 4$ - $BM = BK$ - $DN = DL$ 3. Так как трапеция равнобедренная, то $AB = CD$. Значит, $BM + AM = CN + DN$, откуда $BM + 9 = 4 + DN$, то есть $DN - BM = 5$. 4. В равнобедренной трапеции, описанной около окружности, радиус $r$, проведенный к боковой стороне, делит ее на отрезки, произведение которых равно $r^2$. Здесь $r^2 = AM \cdot BM$ и $r^2 = CN \cdot DN$. Значит, $AM \cdot BM = CN \cdot DN$. $9 \cdot BM = 4 \cdot DN$. Пусть $BM = x$, тогда $DN = \frac{9x}{4}$. 5. Подставим в уравнение $DN - BM = 5$: $\frac{9x}{4} - x = 5 \Rightarrow \frac{5x}{4} = 5 \Rightarrow x = 4$. 6. Таким образом, $BM = 4$, а $DN = 9$. 7. Стороны трапеции: - Боковые стороны: $AB = CD = AM + BM = 9 + 4 = 13$. - Основания: $BC = BK + CK = 4 + 4 = 8$; $AD = AL + DL = 9 + 9 = 18$. 8. Периметр $P = AB + BC + CD + AD = 13 + 8 + 13 + 18 = 52$. **Ответ: 52**