Итоговая контрольная работа по геометрии

1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 11 = 22$. 2. Так как $BC \parallel AD$, то накрест лежащие углы равны: $\angle BCA = \angle CAD = 20^{\circ}$. Биссектриса $AK$ делит угол $A$ пополам, при этом $\angle BAK = \angle CAD = 20^{\circ}$. Следовательно, весь угол $A = 20^{\circ} + 20^{\circ} = 40^{\circ}$. 3. По рисунку верхнее основание $a=2$, нижнее основание $b=5$. Средняя линия $m = \frac{a+b}{2} = \frac{2+5}{2} = 3,5$. 4. Используем теорему Пифагора, где лестница — гипотенуза: $c = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ м. 5. В прямоугольном треугольнике синус угла $B$ равен отношению противолежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$. $0,5 = \frac{12}{AB} \Rightarrow AB = \frac{12}{0,5} = 24$. 6. Сторона ромба $a = \frac{12}{4} = 3$. Площадь ромба $S = a^2 \cdot \sin(30^{\circ}) = 3^2 \cdot 0,5 = 9 \cdot 0,5 = 4,5$. 7. Вертикальные углы равны: $\angle BOC = \angle AOD = 114^{\circ}$. Треугольник $BOC$ равнобедренный, так как $OB$ и $OC$ — радиусы. $\angle OCB = \frac{180^{\circ} - 114^{\circ}}{2} = \frac{66^{\circ}}{2} = 33^{\circ}$. Угол $ACB$ равен $33^{\circ}$. 8. $\angle CBD = \angle BDA$ (как накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей $BD$). Отношение сторон: $\frac{BC}{BD} = \frac{3}{6} = 0,5$ и $\frac{BD}{AD} = \frac{6}{12} = 0,5$. Так как $\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD}$ и углы между ними равны, то $\triangle CBD \sim \triangle BDA$ по двум сторонам и углу между ними.